§13.3 数学归纳法
数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．( × ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．( × ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．( × )
(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．( × )
(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋?＋2n2＝2n3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1
＋
＋
＋2＋22＋23.( √ )
(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.( √ )
111
1．若f(n)＝1＋＋＋?＋(n∈N*)，则f(1)为( )
236n－1A．1
1111
C．1＋＋＋＋
2345答案 C
解析 等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n－1，则当n＝1时，最大分母为5，故选C.
1
2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于( )
2
1B. 5
D．非以上答案
A．1B．2C．3D．0 答案 C
解析 凸n边形边数最小时是三角形， 故第一步检验n＝3.
1111
3．设Sn＝1＋＋＋＋?＋n，则Sn＋1－Sn＝____________________.
2342答案
1111＋n＋n＋?＋nn 2＋12＋22＋32＋2
n1111解析 ∵Sn＋1＝1＋＋?＋n＋n＋?＋n，
222＋12＋2n1111
Sn＝1＋＋＋＋?＋n，
2342
1111
∴Sn＋1－Sn＝n＋n＋n＋?＋nn.
2＋12＋22＋32＋2
111
4．设f(n)＝＋＋?＋，n∈N*，那么f(n＋1)－f(n)＝________.
n＋1n＋2n＋n答案
11－ 2n＋12n＋2
1111111＋＋?＋＋＋－(＋＋?＋n＋2n＋3n＋nn＋1＋nn＋1＋n＋1n＋1n＋2
解析 f(n＋1)－f(n)＝
111111
)＝＋－＝－. n＋n2n＋12n＋2n＋12n＋12n＋2
题型一 用数学归纳法证明等式
例1 求证：(n＋1)(n＋2)·?·(n＋n)＝2n·1·3·5·?·(2n－1)(n∈N*)． 思维点拨 n从k变到k＋1，左边增乘了2(2k＋1)． 证明 ①当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立； ②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，
即(k＋1)(k＋2)·?·(k＋k)＝2k·1·3·5·?·(2k－1)， 那么当n＝k＋1时，
左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·?·(k＋1＋k＋1) ＝(k＋2)(k＋3)·?·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ＝2k·1·3·5·?·(2k－1)(2k＋1)·2 ＝2k1·1·3·5·?·(2k－1)(2k＋1)，
＋
这就是说当n＝k＋1时等式也成立． 由①②可知，对所有n∈N*等式成立．
思维升华 用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值n0的取值并验证n＝n0时等式成立．
(2)由n＝k证明n＝k＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标． (3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法．
用数学归纳法证明：
n?n＋1?1222n2
＋＋?＋＝(n∈N*)． 1×33×5?2n－1??2n＋1?2?2n＋1?121证明 ①当n＝1时，左边＝＝，
1×331×?1＋1?1
右边＝＝，
2×?2×1＋1?3左边＝右边，等式成立． ②假设n＝k(k≥1)时，等式成立．
k?k＋1?1222k2
即＋＋?＋＝， 1×33×5?2k－1??2k＋1?2?2k＋1?当n＝k＋1时，
?k＋1?21222k2左边＝＋＋?＋＋
1×33×5?2k－1??2k＋1??2k＋1??2k＋3?k?k＋1??k＋1?2
＝＋ 2?2k＋1??2k＋1??2k＋3?k?k＋1??2k＋3?＋2?k＋1?2＝ 2?2k＋1??2k＋3??k＋1??2k2＋5k＋2?＝
2?2k＋1??2k＋3?＝
?k＋1??k＋2?
，
2?2k＋3?
?k＋1??k＋1＋1?右边＝ 2[2?k＋1?＋1]＝
?k＋1??k＋2?
，
2?2k＋3?
左边＝右边，等式成立． 即对所有n∈N*，原式都成立． 题型二 用数学归纳法证明不等式
31111
例2 已知函数f(x)＝ax－x2的最大值不大于，又当x∈[，]时，f(x)≥. 26428(1)求a的值；
11
(2)设0 思维点拨 (1)利用题中条件分别确定a的范围进而求a； (2)利用数学归纳法证明． (1)解 由题意， 323a2a2 知f(x)＝ax－x＝－(x－)＋. 22361aa21 又f(x)max≤，所以f()＝≤. 6366所以a2≤1. 111 又x∈[，]时，f(x)≥， 428 ?f?2?≥8，所以?11 f??4?≥8， 解得a≥1. 11 ?2－8≥8， 即?a31?4－32≥8，a31 又因为a2≤1，所以a＝1. (2)证明 用数学归纳法证明： 1 ①当n＝1时，0 211 因为当x∈(0，)时，0 2611 所以0 63故n＝2时，原不等式也成立． 1 ②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式0 k＋131 因为f(x)＝ax－x2的对称轴为直线x＝， 231 所以当x∈(0，]时，f(x)为增函数． 3111 所以由0 k＋13k＋1 k＋41311111 于是，0 1 根据①②，知对任何n∈N*，不等式an<成立． n＋1 思维升华 (1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法． (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，在归纳假设后，
