第3课时 二项式定理
1．(2017·衡水中学调研卷)若(x－1
)的展开式中第四项为常数项，则n＝( )
n
32x
A．4 C．6 答案 B
13n－3n－33
解析 依题意，T4＝Cn·(－)·x－1，∵其展开式中第四项为常数项，∴－1＝0，∴n＝5.故选B.
222162
2．(2017·长沙一模)(x－)的展开式中( )
xA．不含x项 C．含x项 答案 D
解析 Tr＋1＝(－1)C6x
r
r12－2r－r
2
9
B．5 D．7
B．含x项 D．不含x项
4
x＝(－1)C6x
*
rr12－3r
，故x的次数为12，9，6，3，0，－3，－6.选D.
3．在(x＋1)(2x＋1)…(nx＋1)(n∈N)的展开式中一次项系数为( ) A．Cn C．Cn
n－12
B．Cn＋1 13D.Cn＋1 2
2
答案 B
n·（n＋1）2
解析 1＋2＋3＋…＋n＝＝Cn＋1.
24．(1－x)(1＋x)的展开式中x的系数是( ) A．－4 C．3 答案 A
解析 原式＝(1－x)(1＋x)＝(1－x)，于是x的系数是C4·(－1)＝－4. 5．(x－x＋1)展开式中x项的系数为( ) A．－210 C．30 答案 A
解析 (x－x＋1)＝[x－(x－1)]＝C10(x)－C10(x)(x－1)＋…－C10x(x－1)＋C10(x－1)，所以含x项的系数为－C10C9＋C10(－C10)＝－210，故选A. 6．(2018·杭州学军中学)二项式(ax＋7A. 3
362
)的展开式的第二项的系数为－3，则?axdx的值为( ) 6?
－2
9
8
10
7
2
10
2
10
0
210
1
29
92
9
10
10
3
2
10
3
4
4
4
1
4
4
B．－3 D．4
B．210 D．－30
B．3
2017年高考“最后三十天”专题透析
7
C．3或
3答案 A
解析 二项展开式的第二项为T2＝C6(ax)×13－1187x|－2＝－－(－)＝. 3333
7．(2017·山东师大附中月考)设复数x＝＝( ) A．i C．－1＋i 答案 C 解析 x＝
1
5
10
D．3或－ 3
33152
，则由题意有×C6a＝－3，解得a＝－1，所以?－1xdx＝66?
－2
2i122332 0172 017(i为虚数单位)，则C2 017x＋C2 017x＋C2 017x＋…＋C2 017x1－i
B．－i D．1＋i
2i1222 0172 0172 0172 017
＝－1＋i，C2 017x＋C2 017x＋…＋C2 017x＝(1＋x)－1＝i－1＝i－1，故选C. 1－i
1n2
8．(2018·湖北宜昌一中模拟)二项式(－xx)的展开式中含有x项，则n可能的取值是( )
xA．5 C．7 答案 D
5k5kk1n－kkkk5k
解析 展开式的通项为Tk＋1＝Cn()(－xx)＝(－1)Cnx－n，由－n＝2，得n＝－2.k＝4时，n＝8，
x222选D.
a15
9．若(x＋)(2x－)的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( )
xxA．－40 C．20 答案 D
解析 令x＝1，得(1＋a)(2－1)＝2，∴a＝1.
151rr5－rr5－rr5－2r
∴(2x－)的通项为Tr＋1＝C5·(2x)·(－)＝(－1)·2·C5·x.
xx令5－2r＝1，得r＝2.令5－2r＝－1，得r＝3.
∴展开式的常数项为(－1)×2·C5＋(－1)·2·C5＝80－40＝40. 123
10．(2017·湖北四校联考)(2＋4x＋4)展开式的常数项为( )
xA．120 C．200 答案 B
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2
B．6 D．8
B．－20 D．40
5
232323
B．160 D．240
1116－r236rrrr2r－6
解析 (2＋4x＋4)＝(＋2x)，展开式的通项为Tr＋1＝C6·()·(2x)＝C62x，令2r－6＝0，可得r
xxx＝3，故展开式的常数项为160.
另解：展开式的常数项为：4＋C3·4·C2·4＝64＋96＝160.
1n6
11．(2018·广东普宁一中期末)若(x＋)的展开式中含有常数项，则n的最小值等于( )
xxA．3 C．5 答案 C
1n3r15156r6n－rr
解析 (x＋)展开式的通项为Cn(x)(x－)＝Cnx6n－r，r＝0，1，2，…，n，则依题设，由6n－222xx5
r＝0，得n＝r，∴n的最小值等于5.
4
12．若(x－1)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x，则a0＋a2＋a4的值为( ) A．9 C．7 答案 B
解析 (x－1)＝1＋C4x(－1)＋C4x(－1)＋C4x·(－1)＋x＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x， ∴a0＝1，a2＝C4＝6，a4＝1. ∴a0＋a2＋a4＝8.
1204
13．(2018·西安五校联考)从(x＋)的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为( )
xA.C.5 213 10
2B. 73D. 7
24
1
3
22
2
33
4
2
3
4
4
2
3
4
3
1
1
B．4 D．6
B．8 D．6
答案 B
1201k34k420－kk
解析 (x＋)的展开式的通项为Tk＋1＝C20(x)()＝C20x5－k，其中k＝0，1，2，…，20.
4xx3
而当k＝0，4，8，12，16，20时，5－k为整数，对应的项为有理项，
41204
所以从(x＋)的展开式中任取一项，
x62
则取到有理项的概率为P＝＝.
217
14．(2017·衡水中学调研卷)设a，b，m为整数(m>0)，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(modm)．若a＝C20＋C20·2＋C20·2＋…＋C20·2，a≡b(mod10)，则b的值可以是( ) A．2 018 C．2 020
0
1
2
2
20
20
B．2 019 D．2 021
3
2017年高考“最后三十天”专题透析
答案 D
解析 a＝C20＋C20·2＋C20·2＋…＋C20·2＝(1＋2)＝3＝(80＋1)，它被10除所得余数为1，又a≡b(mod10)，所以b的值可以是2 021. 15．(2018·广东湛江调研)若(2x－1)为________． 答案 －1
2 0182 018
11a1a2a2 018aiai2 018
解析 令x＝0，则a0＝1.令x＝，则(2×－1)＝a0＋＋2＋…＋2 018＝1＋i∑ i＝0，∴S2018＝∑ i＝＝12i＝1222222
2 018
0
1
2
2
20
20
20
20
5
＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a2 018x
22 018
ai
(x∈R)，记S2 018＝i∑ i，则S2 018的值＝12
2 018
－1.
16．(x＋2)(x－1)的展开式中x的系数为________． 答案 179
解析 (x＋2)(x－1)＝x(x＋2)－(x＋2)，
本题求x的系数，只要求(x＋2)展开式中x及x的系数Tr＋1＝C10x取r＝2，r＝0得x的系数为C10×2＝180， x的系数为C10＝1， ∴所求系数为180－1＝179.
17．在(ax－1)的二项展开式中，若中间项的系数是160，则实数a＝________． 答案 －2
解析 ∵在(ax－1)的二项展开式中共有7项，展开式的中间项为第4项，此时T4＝C6(ax)(－1)，∴中间项的系数为－aC6＝－20a＝160，∴a＝－2.
a8
18．若(x－)的展开式中常数项为1 120，则展开式中各项系数之和为________．
x答案 1
a8r8－r2r－rr2r8－2r4
解析 (x－)的展开式的通项为Tr＋1＝C8x(－a)x＝C8(－a)x，令8－2r＝0，解得r＝4，所以C8(－
xa8288
a)＝1 120，所以a＝2，故(x－)＝(x－).令x＝1，得展开式中各项系数之和为(1－2)＝1.
xx
24
2
2
223
3
3
6
3
3
3
6
10
0
8
2
2
10
10
8
10
r10－r
10
2
2
10
10
10
2
10
· 2.
r
19．设函数f(x，n)＝(1＋x)(n∈N)． (1)求f(x，6)的展开式中系数最大的项；
(2)若f(i，n)＝32i(i为虚数单位)，求Cn－Cn＋Cn－Cn＋Cn. 答案 (1)20x (2)32
解析 (1)展开式中系数最大的项是第4项T4＝C6x＝20x. (2)由已知(1＋i)＝32i，两边取模，得(2)＝32，所以n＝10.
所以Cn－Cn＋Cn－Cn＋Cn＝C10－C10＋C10－C10＋C10，而(1＋i)＝C10＋C10i＋C10i＋…＋C10i＋C10i＝(C10－C10＋C10－C10＋C10－C10)＋(C10－C10＋C10－C10＋C10)i＝32i，所以C10－C10＋C10－C10＋C10＝32.
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4
n*
13579
3
333
nn
13579135791001229910100
2468101357913579
