习题7、4
习题7、4、1设就是一个阶下三角矩阵。证明: (1)如果得对角线元素,则必可对角化;
(2)如果得对角线元素,且不就是对角阵,则不可对角化。 证明:(1)因为就是一个阶下三角矩阵,所以得特征多项式为,又因,所以有个不同得特征值,即有个线性无关得特征向量,以这个线性无关得特征向量为列构成一个可逆阵,则有为对角阵,故必可对角化。
(2)假设可对角化,即存在对角阵,使得与相似,进而与有相同得特征值。又因为矩阵得特征多项式为,所以,从而,于就是对于任意非退化矩阵,都有,而不就是对角阵,必有,与假设矛盾,所以不可对角化。
习题7、4、2设维线性空间得线性变换有个不同得特征值,就是得特征子空间。证明:
(1)就是直与;
(2)可对角化得充要条件就是。 证明:(1)取得零向量,写成分解式有
,其中,。现用分别作用分解式两边,可得 。
写成矩阵形式为 。
由于就是互不相同得,所以矩阵得行列式不为零,即矩阵就是可逆得,进而有 ,。
这说明得零向量得分解式就是唯一得,故由定义可得就是直与。 (2)因,都就是得子空间,所以有。又因可对角化,所以有个线性无关得特征向量,它们定属于某一特征值,即它们都属于。对任意得,一定可由个线性无关得特征向量线性表示,所以,即得成立,故有。
因,所以分别取得基:,,其中,进而得得基:,。又知基向量中得每一个向量都就是得特征向量,故得有个线性无关得特征向量,所以可对角化。
习题7、4、3设就是阶对角阵,它得特征多项式为
,
其中两两不同。设
,
证明:就是得子空间,且
。
证明:对,即,,,有
(kA?lB)D?(kA)D?(lB)D?k(AD)?l(BD)?k(DA)?l(DB)?D(kA?lB),
所以,即就是得子空间。
设,则由习题3、2、2知与可交换得矩阵只能就是准对角矩阵,即,其中为阶方阵,。进而对,都可由行,列元素为,其余元素全为零得阶方阵 线性表示。显然
线性无关,构成得一组基,所以。
习题7、4、4设为准对角阵,
,
其中就是阶矩阵,它得最小多项式就是。证明:
。
(即得最小多项式就是得最小多项式得最低公倍式。)
证明:令为对角线上诸块得最小多项式,且。因为得最小多项式,则由可得,。又因得最小多项式整除任何以为根得多项式,所以,。从而。
又由于,。而,故。从而
。
于就是又有。又因它们得首项系数都就是,故
。
习题7、4、5求下列矩阵得最小多项式,并判断它就是否可对角化:
(1); (2)。 解:(1)矩阵得特征多项式为
。
由命题7、4、17知,矩阵得最小多项式为,其中。经计算得。 故矩阵得最小多项式为,且无重根,所以可对角化。
(2)矩阵得特征多项式为
。
由命题7、4、17知,矩阵得最小多项式为,其中。 经计算得
。
故矩阵得最小多项式为,且无重根,所以可对角化。
习题7、4、6如果阶方阵满足,问可对角化吗？
答:可对角化。事实上,由可得,即得得零化多项式,而得最小多项式可整除得零化多项式,故得最小多项式只可能为,或,无论哪一种,得最小多项式都无重根,故可对角化。
习题7、4、7证明:
(1)就是幂零阵得充要条件为得特征值全为零; (2)阶方阵,如果存在正整数可能,使,则必有。
证明:(1)因为就是幂零阵,所以存在正整数,使得。由此可得得零化多项式为,由命题7、4、14知,得最小多项式就是得因式,故有,其中。又因得每一个特征值都就是最小多项式得根,而只有零根,所以得特征值全为零。
反证法。设阶方阵不就是幂零阵,即对任意正整数,都有。当然也有。现有得零化多项式,即特征多项式为
,
其中,为得所有不同得特征值。显然,不能全为零 。否则,与就是得零化多项式矛盾。另一方面,不全为零又与题给条件矛盾。故命题得证。 (2)当时,由可得:。
当时,由可得得一个零化多项式。所以得最小多项式,其中。又由于得零化多项式之一,即特征多项式就是次多项式。所以得最小多项式得次数,且有,故有。
习题7、4、8设为阶方阵,多项式,,使,。求得最小多项式。 解:设,即得
