20．（5分）如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D．设CP=x，△CPD的面积为f（x）．则f（x）的定义域为 （2，4） ； f′（x）=0的解是 3 ．
【解答】解：由题意，DC=2，CP=x，DP=6﹣x
∵△CPD，∴，解得x∈（2，4）
如图，三角形的周长是一个定值8，
故其面积可用海伦公式表示出来即=∴f′（x）=
=，
，
f（x）
令 f′（x）=0，解得x=3， 故答案为：（2，4），3．
六．解答题（本大题共2小题，共24分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（10分）计算下列积分： （1）（2）
【解答】解：（1）（﹣x+x2）|（2）∴
； ．
=
（1﹣x）dx+
（x﹣1）dx=（x﹣x2）|
+
=2+=，
表示以原点为圆心以1为半径的圆的面积的四分之一， =
．
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22．（14分）已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx． （1）若f（x）在x∈[﹣
]上的最大值为，求实数b的值；
（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设F（x）=
，对任意给定的正实数a，曲
线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（O为坐标原点），且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．
【解答】解：（1）由f（x）=﹣x3+x2+b，得f′（x）=﹣3x2+2x=﹣x（3x﹣2）， 令f′（x）=0，得x=0或． 列表如下： x f′（x） f（x） 0 0 极小值 + ↗ ﹣ ↘ 0 极大值 ﹣ ↘ ∵∴即最大值为
，，
，
，∴b=0．…（4分）
（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得（x﹣lnx）a≤x2﹣2x． ∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取， ∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0， ∴令
恒成立，即
．
，求导得，
，
当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+1﹣2lnx＞0，从而t′（x）≥0，
∴t（x）在[1，e]上为增函数，∴tmin（x）=t（1）=﹣1，∴a≤﹣1．…（8分）
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（3）由条件，，
假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧， 不妨设P（t，F（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），且t≠1． ∵△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴∴﹣t2+F（t）（t3+t2）=0…（*），…（10分）
是否存在P，Q等价于方程（*）在t＞0且t≠1时是否有解．
①若0＜t＜1时，方程（*）为﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，化简得t4﹣t2+1=0，此方程无解； …（11分）
②若t＞1时，（*）方程为﹣t2+alnt?（t3+t2）=0，即设h（t）=（t+1）lnt（t＞1），则
，
，
，
显然，当t＞1时，h′（t）＞0，即h（t）在（1，+∞）上为增函数，∴h（t）的值域为（h（1），+∞），即（0，+∞），∴当a＞0时，方程（*）总有解． ∴对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…（14分）
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