上海交通大学2001年数学分析考研试题
一 试判断下列命题的真伪。若真，证明之；若伪，举反例。（20分）
1． 数列?xn?收敛于a的充要条件是对于任意给定的正数?，在?a??,a???中含有数列
?xn?中的无穷多项。
2． 函数f在?a,b?上可积必绝对可积（包括定积分与广义积分）
3． 若函数f在?a,b?上连续，且在点x0??a,b?取得最小值，则存在正数?使得f在
?a??,a???中单调减，在?x0,x0???中单调增。
4． 若
x?x0,y?y0limf?x,y?存在，则limf?x,y?与limf?x,y?均存在。
x?x0y?y0
二 计算或证明下列各题，需写出具体过程。（32分）
?u?f?x?ut,y?ut,z?ut???1． 设方程组?决定了u是x,y的函数，求ux与uy。
g(x,y,z)?0?2． 求积分
?21dx?sinxx?x2ydy??dx?sin2xn42?x2yndy的值。
223． 设fn?x??nx1?x??，讨论函数列?f?x??在?0,1?上的一致收敛性。
??1???f?x?，n?4． 设函数f在?0,???上连续，且对于任一自然数n与x??0,???成立f?x?证明：f为?0,???上的常值函数。
x2y2三（12分）在椭圆2?2?1上求点M?x0,y0?，使得通过点M的法线与原点距离最远。
ab
四 （12分）设二元函数f?x,y?在?a,?????c,d?上连续，含参广义积分
???af?x,y?dx在
y?c发散，判断?
??af?x,y?dx关于y在?c,d?上的一致收敛性且证明之。
五（12分）设f为?a,b?上的单调增函数，且a?f?a??f?b??b,证明：存在???a,b?使得f?????.
六 （12分）设函数f在x0的某一邻域U?x0?上有定义，且在点x0有左、右导数，又设U?x0?上的数列?an?与?bn?满足an?x0?bn(n?1,2,...)且liman?limbn?x0。证明：存在
n??n??p??0,1?与子列?ank?与?bnk?使得
limfbnk?fankbnk?ank????k???pf???x0???1?p?f???x0?
