投资风险问题模型
朱婷婷 1107022015 数(2)班
摘要:本论文根据投资公司的”总体收益尽可能大,总体风险尽可能小”
的投资选择和资金分配的原则,构建了多个不同的投资风险与收益问题的数学模型,并通过直接求解和利用数学计算软件求解,分别得到了不同的投资与收益问题模型的结果,来确定投资方向.
关键词:投资风险与收益;数学建模:双目标优化;单目标优化;多重优
化;目标关联函数.
1 问题提出
某投资公司有一定数量的资金进行投资,现在投资方向S1,S2,,Sn可供选择.投资选择和资金分配的原则为:总体收益尽可能大,总体风险尽可能小.
已知:投资收益率rRii?X,其中Ri为投资Si的收益, Xi为投资风险;i投资风险率qQii?X,其中Qi为投资Si的风险;定义投资总体风险innQ??Qi??qiXii?1i?1.
表1 投资方向风险与收益
投资方Si S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
- 1 -
S8
收益率ri
0.2 0.3 0.3
0.3 0.4
0.4 0.4
0.4 0.5
0.5 0.5
0.6 0.5
0.6 0.6
风险率qi 0.3
试建立投资风险问题的数学模型,并根据上列数据计算选择投资方向.
2 合理假设
2.1 在投资期间内市场发展基本上是稳定的; 2.2 投资期间社会政策无较大变化; 2.3 公司的经济发展对投资无较大影响; 2.4 外界因素对投资的资产无较大影响; 2.5 变量限定
Si(i?1,2,,8):投资方向;
Xi(i?1,2,,8):每个投资方向的投资资金;
ri(i?1,2,,8):每个投资方向的投资的收益率;
Ri(i?1,2,,8):每个投资方向投资的收益; qi(i?1,2,,8):每个投资方向的投资的风险率; Qi(i?1,2,,8):每个投资方向投资的风险;
R:投资总收益;
Q:投资总体风险;
?:权重系数.
3 模型构建
3.1 建模准备 设总体收益函数
88R??Ri??riXi i?1i?1 ---------------------------(1)
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总体风险函数
Q??Qi??qiXi -----------------------------(2)
i?1i?188设总体投资资金为1个单位,投资Si的投资资金为Xi个单位，则有:
8??R??riXii?1?8??Q??qiXi ?i?1?8??Xi?1?i?1?X?0,i?1,2,?i -----------------------------(3)
,8 3.2 建立双目标最优化模型
根据题意,以”总体收益函数最大,总体风险函数最小”为目标函数,建立双目标最优化模型.
双目标最优化模型:
maxRminQ8??R??riXii?1?8??Q??qiXi?i?1?8??Xi?1?i?1?X?0,i?1,2,?i,8 -----------------------------(4)
3.3 建立单目标优化模型
为了满足不同投资者的需要,建立一个调和收益和风险矛盾的模型.为此,引入新的函数,反应”收益最大和风险最小”的目标,将此函数作为目标函数,建立单目标优化模型.
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定义一个常用的线性函数作为新的目标函数,称该函数为收益风险权重函数,形式如下:
W??R?(1??)Q ,其中??0为权重系数
它表示了投资者对收益和风险的重视程度, ?越大越重视收益, ?越小越重视风险.所建立的线性优化模型为:
maxW??R?(1??)Q8??R??riXii?1?8??Q??qiXi?i?1?8??Xi?1?i?1?X?0,i?1,2,?i -----------------------------(5)
,8该模型可以根据投资者的不同类型,确定需要的投资方案.下面对投资者进行简单的分类.
注重收益忽略风险型:只注重收益,不考虑风险,此时, ??1. 收益风险注重均衡型：均衡注重收益和风险,此时, ??1. 2注重风险忽略收益型:只注重风险,不考虑收益,此时, ??0. 当然,还可以将投资者分为更多类型,以此来确定权重系数. 3.4 建立多重优化模型
在现实生活中,有的投资者首先重视的是收益,其次再是风险;而有些投资者则首先重视的是风险,其次再是收益.根据投资者的两种特点,可以分别建立两种模型:”先优化收益,再优化风险”的重视收益二重优化模型和”先优化风险,再优化收益”的重视风险二重优化模型.
3.4.1建立”先优化收益,再优化风险”重视收益二重优化模型
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