＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9k2＋27k＋27 ＝[k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3]＋9(k2＋3k＋3)．
因为k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，9(k2＋3k＋3)也能被9整除， 所以(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3也能被9整除，即n＝k＋1时结论也成立． 由(1)(2)知命题对一切n∈N＋成立．
与正整数有关的整除性问题常用数学归纳法证明，证明的关键在于第二步中，根据归纳假设，将n＝k＋1时的式子进行增减项、倍数调整等变形，使之能与归纳假设联系起来.
[再练一题]
4．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为__________．
【解析】 由n＝k成立推证n＝k＋1成立时必须用上归纳假设，∴(k＋1)3＋5(k＋1)＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.
【答案】 (k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6
[构建·体系]
1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为( )
A．1
B．2
C．3 D．4
【解析】 边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3. 【答案】 C
2．用数学归纳法证明1＋a＋a＋…＋an＝1成立时，左边所得的项为( )
A．1 C．1＋a
B．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
2
n＋1
1－an＋2＝(n∈N＋，a≠1)，在验证
1－a
【解析】 当n＝1时，n＋1＝2，故左边所得的项为1＋a＋a2. 【答案】 B
3．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为________.
【导学号：05410052】
【解析】 当n＝k＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k＋1.
【答案】 1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2 4．以下是用数学归纳法证明“n∈N＋时，2n＞n2”的过程，证明：(1)当n＝1时，21＞12，不等式显然成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时不等式成立，即2k＞k2.
那么，当n＝k＋1时，2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2. 即当n＝k＋1时不等式也成立．
根据(1)和(2)，可知对任何n∈N＋不等式都成立．其中错误的步骤为________(填序号)．
【解析】 在2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1中用了k2≥2k＋1，这是一个不确定的结论．如k＝2时，k2＜2k＋1.
【答案】 (2)
5．用数学归纳法证明：对于任意正整数n，(n2－1)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－
n2?n－1??n＋1?n)＝.
4
2
21×?1－1?×?1＋1?2
【证明】 (1)当n＝1时，左边＝1－1＝0，右边＝＝0，
4
所以等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2) k2?k－1??k＋1?＝.
4
那么当n＝k＋1时，有[(k＋1)2－1]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k·[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]
＝(k2－1)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)(1＋2＋…＋k) k2?k－1??k＋1?k?k＋1?＝＋(2k＋1)2 41
＝4k(k＋1)[k(k－1)＋2(2k＋1)] 1
＝4k(k＋1)(k2＋3k＋2)
?k＋1?2[?k＋1?－1][?k＋1?＋1]＝. 4所以当n＝k＋1时等式成立． 由(1)(2)知，对任意n∈N＋等式成立．
我还有这些不足：
(1) (2) 我的课下提升方案：
(1) (2)
