第66讲 椭 圆
夯实基础 【p150】
【学习目标】
1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．
2．熟练掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归． 3．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用． 【基础检测】
xy1
1．已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆的长轴与焦距之差为4，则该椭圆
ab2为方程为( )
xyxy
A.＋＝1B.＋＝1 4284xyxy
C.＋＝1D.＋＝1 1641612
c1
【解析】设椭圆的焦距为2c，由条件可得＝，故a＝2c，由椭圆的长轴与焦距之差为
a2x
4可得2(a－c)＝4，即a－c＝2，所以a＝4，c＝2，故b＝a－c＝12，故该椭圆的方程为
16
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
y
＋＝1. 12
【答案】D
yx
2．已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)经过点A(5，0)，B(0，3)，则椭圆E的离心率为( )
ab
2
2
2
A.B.23545C.D. 399
2
2
yx
【解析】由椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)，经过点A(5，0)，B(0，3)，可得a＝3，b＝5，
ab所以c＝9－5＝2， 2
其离心率e＝. 3【答案】A
xy
3．设椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，A是椭圆C上任意一点，则△AF1F2
259的周长为( )
2
2
1
A．9B．13C．15D．18
xy
【解析】由椭圆C：＋＝1知a＝5，b＝3，∴c＝4，
259则△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝10＋8＝18. 【答案】D
x2
4．已知F是椭圆C：＋y＝1的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4，
23)，则|PQ|＋|PF|的最大值为__________．
x2
【解析】∵点F为椭圆＋y＝1的左焦点，
2∴F(－1，0)，设椭圆的右焦点为F′(1，0)，
∵点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为(4，3)，∴|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋22－|PF′|＝22＋|PQ|－|PF′|，
又∵|PQ|－|PF′|≤|QF′|＝32， ∴|PQ|＋|PF|≤52，
即|PQ|＋|PF|的最大值为52，此时Q、F′、P共线． 【答案】52
2
x?11?2
5．已知椭圆方程为＋y＝1，则过点P?，?且被P平分的弦所在直线的方程为
2?22?
222
2
____________．
x2
【解析】设这条弦与椭圆＋y＝1交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2由中点坐标公式知x1＋x2＝1，y1＋y2＝1， x2
把A(x1，y1)，B(x2，y2)代入＋y＝1，
2
y1－y21
作差整理得(x1－x2)＋2(y1－y2)＝0，∴kAB＝＝－.
x1－x2211?1?∴这条弦所在的直线方程为y－＝－?x－?，
22?2?即2x＋4y－3＝0. 【答案】2x＋4y－3＝0 【知识要点】 1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于__|F1F2|__)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F1，F2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
2
22
2．椭圆的标准方程
xy22(1)__2＋2＝1__(a>b>0)，焦点F1(－c，0)，F2(c，0)，其中c＝__a－b__．
abyx22(2)2＋2＝1(a>b>0)，焦点__F1(0，－c)，F2(0，c)__，其中c＝__a－b__． abxy
3．椭圆的几何性质(以2＋2＝1(a>b>0)为例)
ab(1)范围：__|x|≤a，|y|≤b__．
(2)对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：O(0，0)．
(3)顶点：长轴端点：A1(－a，0)，A2(a，0)，短轴端点：B1(0，－b)，B2(0，b)；长轴长|A1A2|＝2a，短轴长|B1B2|＝2b，焦距|F1F2|＝2c.
c
(4)离心率e＝____，0 a(5)a，b，c的关系：c＝a－b或a＝c＋b. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 典例剖析 【p151】 考点1 椭圆的定义及应用 例1(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( ) A．椭圆B．双曲线 C．抛物线D．圆 【解析】由条件知|PM|＝|PF|. ∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|. ∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆． 【答案】A xy (2)设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点， 2516|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________． 2 2 3 1 【解析】由题意知|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6.∴|PF1|＝2×5－6＝4. 2【答案】4 xy3 (3)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l ab3交C于A、B两点，若△AF1B的周长为43，则C的方程为( ) xyx2 A.＋＝1B.＋y＝1 323xyxy C.＋＝1D.＋＝1 128124 【解析】∵△AF1B的周长为43，∴4a＝43， ∴a＝3，∵离心率为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 ，∴c＝1， 3 2 2 xy ∴b＝a－c＝2，∴椭圆C的方程为＋＝1. 32【答案】A 考点2 求椭圆的标准方程 例2(1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3，0)，则椭 圆 的 方 程 为 ________________________________________________________________________． xy 【解析】若焦点在x轴上，设方程为2＋2＝1(a>b>0)， ab30 ∵椭圆过P(3，0)，∴2＋2＝1，即a＝3， abx2 又2a＝3×2b，∴b＝1，方程为＋y＝1. 9yx 若焦点在y轴上，设方程为2＋2＝1(a>b>0)． ab03 ∵椭圆过点P(3，0)．∴2＋2＝1，即b＝3. abyx 又2a＝3×2b，∴a＝9，∴方程为＋＝1. 819xyx2 ∴所求椭圆的方程为＋y＝1或＋＝1. 9819xyx2 【答案】＋y＝1或＋＝1 9819 (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P(－3，0)，Q(0，－2)，则 2 2 2 2 2 22 2 2 22 22 2 2 2 2 椭圆的方程为 4
