12anan＋1＋1
14．(2016·云南统考)在数列{an}中，an>0，a1＝，如果an＋1是1与的等比中2
24－an项，那么a1＋2＋2＋2＋…＋2的值是________．
234100
解析：由题意可得，an＋1＝
2
a2a3a4a100
2anan＋1＋1
?(2an＋1＋anan＋1＋1)(2an＋1－anan＋1－1)＝0，又an>0，2
4－an1an－11
∴2an＋1－anan＋1－1＝0，又2－an≠0，∴an＋1＝?an＋1－1＝，又可知an≠1，∴
2－an2－anan＋1－1＝
?1?1111
?是以－1，∴?为首项，－1为公差的等差数列，∴＝－(n－1)＝
an－1a1－1an－11?an－1?
－12
－n－1?an＝
?＝n＋1n2nnan1n＋111a2a3a4a1001111＝－，∴a1＋2＋2＋2＋…＋2＝1－＋－＋nn＋12341002233
11111100
－＋－＋…＋－＝. 445100101101
100答案：
101三、解答题
15．已知数列{an}为等比数列．Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋an，且T1＝1，T2＝4. (1)求{an}的通项公式； (2)求{Tn}的通项公式． 解：(1)T1＝a1＝1，
T2＝2a1＋a2＝2＋a2＝4，∴a2＝2.
∴等比数列{an}的公比q＝＝2.∴an＝2
a2a1
n－1
.
n－1
(2)方法1：Tn＝n＋(n－1)·2＋(n－2)·2＋…＋1·22Tn＝n·2＋(n－1)2＋(n－2)2＋…＋1·2，② ②－①，得
2
3
2
，①
nTn＝－n＋2＋2＋…＋2
＝－n＋2
n＋1
2n－1
21－2
＋2＝－n＋
1－2
nn
－2＝2
n＋1
－n－2.
方法2：设Sn＝a1＋a2＋…＋an， ∴Sn＝1＋2＋…＋2
n－1
＝2－1.
n∴Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an ＝a1＋(a1＋a2)＋…＋(a1＋a2＋…＋an)
＝S1＋S2＋…＋Sn＝(2－1)＋(2－1)＋…＋(2－1)
2
n2
＝(2＋2＋…＋2)－n＝
2
n1－21－2
n－n
＝2
n＋1
－n－2.
11
16．(2016·安徽淮南一模)若数列{an}的前n项和为Sn，点(an，Sn)在y＝－x的图象
63上(n∈N)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若c1＝0，且对任意正整数n都有cn＋1－cn＝log1 an.求证：对任意正整数n≥2，总
2111113有≤＋＋＋…＋<. 3c2c3c4cn4
11
解：(1)∵Sn＝－an，
63
11
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，
331
∴an＝an－1.
4
111
又∵S1＝－a1，∴a1＝，
6381?1?n－1?1?2n＋1
∴an＝??＝??.
8?4??2?
1
(2)证明：由cn＋1－cn＝logan＝2n＋1，
2
得当n≥2时，cn＝c1＋(c2－c1)＋(c3－c2)＋…＋(cn－cn－1)＝0＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n－1＝(n＋1)(n－1)．
1111∴＋＋＋…＋ 2
*
c2c3c4
2
cn＝
1111＋2＋2＋…＋2 2－13－14－1n－1
1??1??11??11?＝×??1－?＋?－?＋?－?＋…2??3??24??35?
＋
?1－1?? ?n－1n＋1?????
1??1??1??1＝??1＋?－?＋? 2??nn＋1?2????1?331?1＝－?＋?<. 42?nn＋1?4
111111
又∵＋＋＋…＋≥＝，∴原式得证．
c2c3c4cnc23
