课时作业31 数列求和与综合应用
一、选择题
1．数列{an}的通项公式是an＝
1
n＋n＋1
，前n项和为9，则n等于( )
A．9 B．99 C．10 D．100 解析：an＝
1
n＋n＋1
＝n＋1－n，
∴a1＋a2＋…＋an＝n＋1－1＝9， ∴n＋1＝10，∴n＝99，故选B. 答案：B
2．数列{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n＋3n＋2，则{bn}的前10项之和为( ) 1A. 31C. 21
解析：bn＝＝
1
B.D.
＝
5 127 12
2
ann＋1n＋2
11－， n＋1n＋2111445
111
11122
112
512
S10＝b1＋b2＋b3＋…＋b10＝－＋－＋－＋…＋－＝－＝.
答案：B
3．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，已知它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为( )
A．12 C．8
B．10 D．6
111233
解析：偶数项和是奇数项和的2倍，即q＝2.又中间两项的和为24，所以中间两项分别为8,16.又它的首项为1，则8是数列的第4项，因此等比数列的项数为8.
答案：C
4．数列{(－1)(2n－1)}的前2 016项和S2 016等于( ) A．－2 016 C．－2 015 解析：S2
016
nB．2 016 D．2 015
＝－1＋3－5＋7＋…－(2×2 015－1)＋(2×2 016－1)＝
＝2 016.故选B.
答案：B
5．(2016·海南海口一模)若正项数列{an}满足lgan＋1＝1＋lgan，且a2 001＋a2 002＋a2 003＋…＋a2 010＝2 013，则a2 011＋a2 012＋a2 013＋…＋a2 020的值为( )
A．2 013×10 C．2 014×10
解析：由条件知lgan＋1－lgan＝lg
10
1010
B．2 013×10 D．2 014×10
11
11
an＋1an＋1
＝1，即＝10，所以{an}是公比为10的等比数anan10
列．因为(a2 001＋…＋a2 010)·q＝a2 011＋…＋a2 020，所以a2 011＋…＋a2 020＝2 013×10.故选A.
答案：A
6．在数列{an}中，已知对任意n∈N，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3－1，则a1＋a2＋a3＋…＋
*
n222
a2n等于( )
A．(3－1) C．9－1
nnn2
1nB.(9－1) 21nD.(3－1) 4
n－1
解析：因为a1＋a2＋…＋an＝3－1，所以a1＋a2＋…＋an－1＝3－1(n≥2)．则n≥2时，
an＝2·3n－1.
当n＝1时，a1＝3－1＝2，适合上式，所以an＝2·3公比为9的等比数列，故选B.
答案：B
7．(2016·北京房山模拟)△ABC中，tanA是以－4为第三项，－1为第七项的等差数列1
的公差，tanB是以为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是( )
2
A．钝角三角形 C．等腰直角三角形
B．锐角三角形 D．以上均错
n－1
(n∈N)．则数列{an}是首项为4，
*2
－1－－43
解析：由题意知，tanA＝＝>0，
7－3443
tanB＝＝8，tanB＝2>0，
12∴角A、B均为锐角．
3＋2411
又∵tan(A＋B)＝＝－<0，
321－×24∴角A＋B为钝角，∴角C为锐角， ∴△ABC为锐角三角形．
答案：B
??n，当n为正奇数时，
8．已知函数f(n)＝?2
??－n，当n为正偶数时，
2
2
且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…
＋a100等于( )
A．0 C．－100
2
2
B．100 D．10 200
2
2
2
2
2
2
2
2
解析：由题意，得a1＋a2＋…＋a100＝1－2－2＋3＋3－4－4＋5＋…＋99－100－100＋101＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.故选B.
答案：B
2
9．已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lgan，b3＝18，b6
＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值等于( )
A．126 C．132
解析：bn＋1－bn＝lgan＋1－lgan＝lg
B．130 D．134
an＋1
＝lgq(常数)， an∴{bn}为等差数列，设其公差为d，
??b1＋2d＝18，∴?
?b1＋5d＝12，?
??d＝－2，
∴?
?b1＝22.?
则bn＝－2n＋24，
令bn＝－2n＋24≥0，得n≤12，可知{bn}的前11项为正，第12项为零，从第13项起均为负，∴S11、S12最大，易知S11＝S12＝132.
答案：C
10．设直线nx＋(n＋1)y＝2(n∈N)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn，则S1＋S2＋…＋S2 013的值为( )
A.C.
2 010
2 0112 012
2 013
2
2 011B. 2 0122 013D. 2 014
*
解析：直线与x轴交于(122∴Sn＝··＝
2nn＋1nn，0)，与y轴交于(0，
2
)， n＋1
111
＝－. n＋1nn＋1
11111
∴原式＝(1－)＋(－)＋…＋(－)
2232 0132 01412 013
＝1－＝. 2 0142 014答案：D
二、填空题
11．(2016·河北唐山统考)数列{an}的前n项和为Sn(n∈N)，2Sn－nan＝n，若S20＝－360，则a2＝________.
解析：∵2Sn－nan＝n①
∴当n≥2时，2Sn－1－(n－1)an－1＝n－1②， ∴①－②得，(2－n)an＋(n－1)an－1＝1③， ∴(1－n)an＋1＋nan＝1④，
∴③－④得，2an＝an－1＋an＋1(n≥2)， ∴数列{an}为等差数列，
∵当n＝1时，2S1－a1＝1，∴a1＝1， 20×19∵S20＝20＋d＝－360，∴d＝－2.
2∴a2＝1－2＝－1. 答案：－1
12．(2016·陕西质检模拟)已知正项数列{an}满足an＋1－6an＝an＋1an.若a1＝2，则数列{an}的前n项和为________．
解析：∵an＋1－6an＝an＋1an， ∴(an＋1－3an)(an＋1＋2an)＝0， ∵an>0，∴an＋1＝3an，又a1＝2，
∴{an}是首项为2，公比为3的等比数列， 2∴Sn＝
n2
2
2
2*
1－31－3
n＝3－1.
n答案：3－1
13．(2016·河南商丘模拟)若等差数列{an}满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}的前n项和，则当n＝________时，Sn取得最大值．
解析：设公差为d，
4
由题设知3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，所以d＝－a1.
33
?4?解不等式an>0，即a1＋(n－1)?－a1?>0， ?33?
37
得n<，则n≤9，
4
∴当n≤9时，an>0，同理可得当n≥10时，an<0. 故当n＝9时，Sn取得最大值． 答案：9
