一、填空题（共24分，每小题3分）
(?1)n?11．当 0?p 1 时,?p条件收敛.
nn?1?2．设z?xy2,l?i?2j,则
?z?l? _________________
x?2y?13. 若z3?3xyz?x?y?z确定了隐函数z?z(x,y),则z?z(x,y)在点(0,0,1)处的全微分为________________ 4．空间曲线 x?t,y?t2,z?t3 在点P(?1,1,?1,)切线方程为_________________ 5．幂级数?(?1)n?1nxn?1的收敛域是_________________
n?1?6．若D为x2?y2?1,则??5x2?y2dxdy?________________
D7．设L是由直线段OA及AB组成的折线,其中O(0,0),A(1,0),B(0,1),则曲线积分?L(x?y)ds? _________________ 8．齐次线性微分方程y???5y??6y?0的通解为y?_________________
二、选择题（共15分，每小题3分）
1. 设?是实常数,则微分方程y???2?y???2y?0的通解形式为（ ）
(A) C1e?x?C2 (B) C1cos?x?C2sin?x (C) e?x(C1cos?x?C2sin?x) (D) (C1?C2x)e?x
n2n2. 幂级数?3x 的收敛半径R?（ ）
n?1? (A) 1 (B)
? (C)
a13 (D)
33x3．设f(x,y)在区域D?{(x,y)|0?y?x?a}(a?0)上连续,则 ?0dx?0f(x,y)dy 等于（ ） (A)
?a0dy?f(x,y)dx (B)
ya?a0dy?f(x,y)dx (C)
ay?a0dy?f(x,y)dx (D)
0y?a0dy?f(x,y)dx
0a4. 设L是取顺时针方向的单位圆周,所围的区域记为D,根据格林公式,曲线积分?Ly2xdy?x2ydx等于（ ）
(A) ???D(y2?x2)dxdy (B) 5. 平面y?3z?0是（ ）
(A) 与OX轴垂直的平面 (B) 通过OX轴的平面 (C) 与YOZ平面平行的平面 (D) 不是前面三种平面
三、解答题（共54分，每小题9分） 1. 求微分方程
dyy? 的通解. dx2(lny?x)??D(x2?y2)dxdy (C) ???(y2?x2)dxdy (D) ???(x2?y2)dxdy
DD2. 一直线过点(?3,2,5)且与两平面x?4z?0, 2x?y?5z?0的交线平行,求该直线方程.
3. 设z?f?y?x,ye4. 设I?x??z?2z，其中f具有二阶连续偏导数,求，.
?x?x?y?Ly3dx?(3x?x3)dy,其中L为圆周x2?y2?R2(R?0),方向取正向,求R为何值时,I有最大值.
25. 利用高斯公式计算曲面积分I???ydydz?xdzdx?zdxdy,其中?是锥面z?x2?y2介于平面z?0与z?3之间
?部分的外侧．
6.求旋转抛物面z?x2?y2和圆锥面z?x2?y2所围成的立体的体积.
四、证明题（共7分） 已知无穷级数?un满足 un?1?n?2??lnn?x2?y2?a2???n?x2?y2dxdy，其中实数a?0．
证明：级数?un当a?1时收敛，a?1时发散；但?(?1)nun总是收敛的．
n?2n?2
答案
一、填空题（共24分，每题3分） 1、? 2、911x?1y?1z?1?? 3、dz?dx?dy 4、
221?235622x3x515、(?1,1) 6、? 7、?2 8、C1e?C2e
二、选择题（共15分，每小题3分）
1、 D 2、 C 3、 A 4、 C 5、 B 三、解答题（共54分，每小题9分） 1、解 方程改写为
?2dx22lny?x? ---------2分 dyyy 通解x?e?ydy2lny?ydy(?edy?C)---------7分
y2?y?2(2?lny21ydy?C)?cy?2?lny?---------9分
2yijk2、解 所求直线的方向向量为s?1故所求直线方程为
x0?4??4i?3j?k ---------5分
2?1?5x?3y?2??z?5 ---------9分 43?z'x'3、解 设 u?y?x,v?ye， 则 ??fu?yefv ---------4分
?x?2z''''''''''''''??fuu?exfuv?yex(fvu?exfvv)?exfv'-??fuu?ex?y?1?fuv?ye2xfvv?exfv'
?x?y-------9分
4、解由格林公式,
??3R23222 有I???[(3x?x)?(y)]dxdy?3??(1?x?y)dxdy?3?R(1?) ---------4分
?x?y2DD令
dI?6?R(1?R2)?0,得驻点R?1(其中R?0及R??1舍去). ---------6分 dRd2I又2dR?6?(1?3R2)R?1R?1?0 故当R?1时,I取极大值. ---------8分
再由R?1为区域R?0内的唯一极大值点,
3所以它为最大值点.且Imax??. ---------9分
25、解 补平面?1:z?3,(x2?y2?9)上侧 ---------2分
I??????????????2zdv???9dxdy ---------6分
???1?Dxy ??302?z3dz?81???81?. ---------9分 26、解 用柱面坐标??{(?,?,z)|?2?z??,0???1,0???2?}
V????dv??d??d??2?dz---------5分
?002?1???2???(???2)d??01?6---------9分
四、证明题（共7分） 证明 un?1??lnn?x?y2?a2?2??n?x2?y2dxdy?1?(1?n?a)?n?a---------5分
n?22所以
?un??n?2n?21na2，
?(?1)un??(?1)nn?2n?2?1na2，
由有关判别法易知这个级数是收敛的． ---------7分
