第五章 数列（5） 第 25 页 共 28 页 秦
左侧第2个坑时，路程和为2×(10＋0＋10＋20＋?＋180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2×(20＋10＋0＋10＋20＋?＋170)(减少了680米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2×(90＋80＋?＋0＋10＋20＋?＋100)＝2 000米．
答案：2 000
6．解析：由“凸数列”的定义，可知，b1＝1，b2＝－2，b3＝－3，b4＝－1，b5＝2，b6＝3，b7＝1，
b8＝－2，?，故数列{bn}是周期为6的周期数列，又b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6＝0，故数列{bn}的前2 013项和S2 013＝b1＋b2＋b3＝1－2－3＝－4.
答案：－4
7．解：(1)由an＋1＝2Sn＋1①， 得an＝2Sn－1＋1(n≥2，n∈N*)②， ①－②得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)， ∴an＋1＝3an(n≥2，n∈N*)，
又a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1，∴an＝3n－1. ∵b5－b3＝2d＝6，∴d＝3， ∴bn＝3n－6.
(2)证明：∵an＋2＝3n＋1，bn＋2＝3n， ∴cn＝
1－2n3nn
n＋1＝n，∴cn＋1－cn＝n＋1<0， 333
11
∴cn＋1 ??1 a1＝f(1)－c＝3－c， 2 a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－9， 2 a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－27. 又数列{an}成等比数列， 第五章 数列（5） 第 26 页 共 28 页 秦 42 81a221 ∴a1＝a＝2＝－3＝3－c，∴c＝1. 3 －27a21 又公比q＝a＝3， 1 2?1??1?∴an＝－3?3?n－1＝－2?3?n(n∈N*)． ???? ∵Sn－Sn－1＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)＝Sn＋Sn－1(n≥2)，bn>0，Sn>0，∴Sn－Sn－1＝1， ∴数列{Sn}构成一个首项为1，公差为1的等差数列， Sn＝1＋(n－1)×1＝n，Sn＝n2. 当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1； 又b1＝c＝1满足bn＝2n－1， ∴bn＝2n－1(n∈N*)． ?1?n?1?n (2)∵cn＝bn?3?＝(2n－1)?3?， ????∴Rn＝c1＋c2＋c3＋?＋cn， ?1??1??1??1?Rn＝1×?3?1＋3×?3?2＋5×?3?3＋?＋(2n－1)×?3?n， ???????? ① 1?1?2?1?3?1?4?1?n?1?n＋1?????????? 3Rn＝1×?3?＋3×?3?＋5×?3?＋?＋(2n－3)×?3?＋(2n－1)×?3?. ② 由①－②得， 21??1?2?1?3?1?4?1?n??1?n＋1 ???????????3?， R＝＋2＋＋＋?＋－(2n－1)× 3n3??3??3??3??3???? ?1?2??1?? ?3??1－?3?n－1???????211n＋122?n＋1??1?n ??化简得，3Rn＝3＋2×－(2n－1)× 13＝3－3×?3?， 1－ 3n＋1 ∴Rn＝1－3n. 1111111 (3)由(1)知Tn＝bb＋bb＋bb＋?＋＝＋＋＋?＋ bnbn＋11×33×55×71223341?1?1?11?1?11?11?1?1 ＝?1－3?＋2?3－5?＋2?5－7?＋?＋2?2n－1－2n＋1? ??????2n－1?×?2n＋1?2??? 第五章 数列（5） 第 27 页 共 28 页 秦 1?1?n ＝2?1－2n＋1?＝. ??2n＋1 n1 0001 000由Tn＝>得n>9， 2n＋12 0091 000 ∴满足Tn>2 009的最小正整数n为112. 第Ⅱ卷：提能增分卷 1．解：(1)设{an}的公比为q，{bn}的公差为d， ?2＋d＝4×2q， 依题意得? ?2＋2d?·2q＝6，?d＝2，?? 解得?1 q＝，??2 d＝－5，?? ，或?3 q＝－8.?? (舍) ?1?∴an＝?2?n－2，bn＝2n. ???1?(2)由(1)得abn＝a2n＝?2?2n－2， ???1?2n－2 ∵abn<0.001，即?2?<0.001， ??∴22n－2>1 000，∴2n－2≥10，即n≥6， ∴满足题意的正整数n的最小值为6. 2．解：(1)由题意知，圆Cn的圆心到直线ln的距离dn＝n，圆Cn的半径rn＝2an＋n， ?1?2n－1 ∴an＋1＝?2|AnBn|?2＝r2. n－dn＝(2an＋n)－n＝2an，又a1＝1，∴an＝2??(2)当n为偶数时，Tn＝(b1＋b3＋?＋bn－1)＋(b2＋b4＋?＋bn) ＝[1＋5＋…＋(2n－3)]＋(2＋2＋?＋2(2n－1)． ?n＋1?2－?n＋1?2n＋1n2＋n2当n为奇数时，n＋1为偶数，Tn＋1＝＋3(2－1)＝2＋3 2(2n＋1－1)，而Tn＋1＝Tn＋bn＋1＝Tn＋2n， n2＋n1n ∴Tn＝2＋3(2－2)． 3 n－1 n?n－1?2?1－2n?n2－n2)＝2＋＝2＋3 1－4 第五章 数列（5） 第 28 页 共 28 页 秦 n2－n2n??2＋3?2－1??n为偶数?∴Tn＝?2 n＋n1n??2＋3?2－2??n为奇数? . 11 3．解：(1)P1是线段AB的中点?OP1＝2OA＋2OB， 又OP1＝a1OA＋b1OB，且OA，OB不共线， 1 由平面向量基本定理，知a1＝b1＝2. (2)由OPn＝anOA＋bnOB (n∈N*)?OPn＝(an，bn)， 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则由于P1，P2，P3，?，Pn，?互不相同，所以d＝0， q＝1不会同时成立． 1 若d＝0，q≠1，则an＝a1＝2(n∈N*) 1 ?P1，P2，P3，?，Pn，?都在直线x＝2上； 1 若q＝1，d≠0，则bn＝2为常数列 1 ?P1，P2，P3，?，Pn，?都在直线y＝2上； 若d≠0且q≠1，P1，P2，P3，?，Pn，?在同一条直线上?Pn－1Pn＝(an－an－1，bn－bn－1)与PnPn＋1＝(an＋1－an，bn＋1－bn)始终共线(n≥2，n∈N*) ?(an－an－1)(bn＋1－bn)－(an＋1－an)(bn－bn－1)＝0?d(bn＋1－bn)－d(bn－bn－1)＝0 ?bn＋1－bn＝bn－bn－1 ?q＝1，这与q≠1矛盾， 所以当d≠0且q≠1时，P1，P2，P3，?，Pn，?不可能在同一条直线上．
