第五章 数列（5） 第 17 页 共 28 页 秦
an·bn
(3)若cn＝n，求数列{cn}的前n项和Tn.
3．已知正项数列{an}，{bn}满足a1＝3，a2＝6，{bn}是等差数列，且对任意正整数n，都有bn，an，bn＋1成等比数列．
(1)求数列{bn}的通项公式；
b2111n＋1
(2)设Sn＝＋＋?＋，试比较2Sn与2－的大小．
a1a2anan＋1
答 案
第Ⅰ卷：夯基保分卷
1．选C 由题意得an＝1＋2n－1， 1－2n
所以Sn＝n＋＝n＋2n－1，故选C.
1－2
2．选A 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. ?a1＋4d＝5，?
∵a5＝5，S5＝15，∴?5×?5－1?
5a＋d＝15，?2?1?a1＝1，
∴?∴an＝a1＋(n－1)d＝n. ?d＝1，∴
1111＝＝n－， anan＋1n?n＋1?n＋1
111111100
100项和为1－2＋2－3＋?＋100－101＝1－101＝101.
??1??
∴数列?aa?的前
?nn＋1???
3．选B f(n)＝n2cos nπ＝
2
?－n ?n为奇数??2＝(－1)n·n2， ?n ?n为偶数?
由an＝f(n)＋f(n＋1)＝(－1)n·n2＋(－1)n＋1·(n＋1)2＝(－1)n[n2－(n＋1)2]＝(－1)n＋1·(2n＋1)，
得a1＋a2＋a3＋?＋a100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋?＋199＋(－201)＝50×(－
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2)＝－100.
4．选C ∵由Sn＝n2－6n得{an}是等差数列， 且首项为－5，公差为2. ∴an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7， ∴n≤3时，an<0，n>3时，an>0，
2
?6n－n?1≤n≤3?，∴Tn＝?2
?n－6n＋18?n>3?.
135
5．解析：由题意知，a1＝－2，a2＝1，a3＝－2，a4＝2，a5＝－2，a6＝3，?，1
所以数列{an}的奇数项构成了首项为－2，公差为－1的等差数列，偶数项构成了首项为1，公差为1的等差数列，通过分组求和可得
1 007×1 0061 006×1 005???1???
??S2 013＝??－2?×1 007＋＋×(－1)1×1 006＋×1?
22??????1 007
＝－2. 1 007
答案：－2 6．解析：∵an＋1－an＝2n，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋?＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋?＋22＋22－2n
＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.
1－2
2－2n＋1n＋1
∴Sn＝＝2－2.
1－2答案：2n＋1－2
7．解：(1)由a2n－(2n－1)an－2n＝0， 得(an－2n)·(an＋1)＝0.
由于{an}是正项数列，所以an＝2n. 1(2)由an＝2n，bn＝，
?n＋1?an1?11?1－?. 得bn＝＝?2n?n＋1?2?nn＋1?
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1111111?1?1?1?n
Tn＝2?1－2＋2－3＋?＋n－1－n＋n－n＋1?＝2?1－n＋1?＝. ????2?n＋1?8．解：(1)当n≥2时，bn＝an＋an－1＝2n－1， 当n＝1时，b1＝a1＝1适合上式， ∴bn＝2n－1(n∈N*)． ?2＋b，n＝1，(2)qn＝?
?4n＋2b－2，n≥2，
当b＝0时，qn＝4n－2，由于qn＋1－qn＝4， 所以此时数列{cn}的“生成数列”{qn}是等差数列． 当b≠0时，由于q1＝c1＝2＋b，q2＝6＋2b， q3＝10＋2b，此时q2－q1≠q3－q2，
所以此时数列{cn}的“生成数列”{qn}不是等差数列． ?3，n＝1，
(3)pn＝?n－1
3·2＋2n－1，n≥2，?
当n>1时，Tn＝3＋(3·2＋3)＋(3·22＋5)＋?＋(3·2n－1＋2n－1)，
∴Tn＝3＋3(2＋22＋23＋?＋2n－1)＋(3＋5＋7＋?＋2n－1)＝3·2n＋n2－4. 又n＝1时，T1＝3，适合上式，∴Tn＝3·2n＋n2－4. 第Ⅱ卷：提能增分卷
53135
1．解：(1)∵xn＝－2＋(n－1)×(－1)＝－n－2，∴yn＝3xn＋4＝－3n－4. 35??
∴Pn?－n－2，－3n－4?.
??
(2)∵Cn的对称轴垂直于x轴，且顶点为Pn， ∴设Cn的方程为y＝ax＋
2n＋3212n＋5
2－4.
把Dn(0，n2＋1)代入上式，得a＝1， ∴Cn的方程为y＝x2＋(2n＋3)x＋n2＋1. ∴kn＝y′|x＝0＝2n＋3， ∴
1kn－1kn
＝
1
?2n＋1??2n＋3?
1?1?1
－＝2?2n＋12n＋3?， ??
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111∴kk＋kk＋?＋ kn－1kn1223
1??1??11??11??1
－－－??????＝257＋79＋?＋2n＋12n＋3??
????????1?1?111－＝2?52n＋3? ＝10－. 4n＋6??
2．解：(1)∵Sn＝3n，∴Sn－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1(n≥2)． 当n＝1时，2×31－1＝2≠S1＝a1＝3， ?3，n＝1，
∴an＝? n－1
?2×3，n≥2.(2)∵bn＋1＝bn＋(2n－1)，
∴b2－b1＝1，b3－b2＝3，b4－b3＝5，?，bn－bn－1＝2n－3. 以上各式相加得
?n－1??1＋2n－3?2
bn－b1＝1＋3＋5＋?＋(2n－3)＝＝(n－1).
2∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n.
?－3，n＝1，
(3)由题意得cn＝? n－1
?2?n－2?×3，n≥2.
当n≥2时，Tn＝－3＋2×0×31＋2×1×32＋2×2×33＋?＋2(n－2)×3n－1， ∴3Tn＝－9＋2×0×32＋2×1×33＋2×2×34＋?＋2(n－2)×3n， ∴相减得－2Tn＝6＋2×32＋2×33＋?＋2×3n－1－2(n－2)×3n. ∴Tn＝(n－2)×3n－(3＋32＋33＋?＋3n－1) 3n－3?2n－5?3n＋3＝(n－2)×3－2＝.
2
n
?－3，n＝1，?
∴Tn＝??2n－5?3n＋3
，n≥2.?2?
?2n－5?3n＋3*
∴Tn＝(n∈N)．
2
3．解：(1)∵对任意正整数n，都有bn，an，bn＋1成等比数列， 且{an}，{bn}都为正项数列，
