第五章 数列（5） 第 5 页 共 28 页 秦
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(2)an＝1＋＝1＋.
a＋2?n－1?2－a
n－2∵对任意的n∈N*，都有an≤a6成立， 12
结合函数f(x)＝1＋的单调性，
2－ax－22－a
知5<2<6，∴－10 1．选B 当an＋1>|an|(n＝1,2，?)时，∵|an|≥an，∴an＋1>an，∴{an}为递增数列．当{an}为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a2>|a1|不成立，即知an＋1>|an|(n＝1,2，?)不一定成立．故综上知，“an＋1>|an|(n＝1,2，?)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件． 2．解析：当a2为奇数时，a3＝a2－4＝1，a2＝5； 1 当a2为偶数时，a3＝2a2＝1，a2＝2； 当a1为奇数时，a2＝a1－2＝5，a1＝7 或a2＝a1－2＝2，a1＝4(舍去)； 1 当a1为偶数时，a2＝2a1＝5，a1＝10 1 或a2＝2a1＝2，a1＝4. 综上，a1的可能取值为4,7,10. 答案：4,7,10 课时跟踪检测(三十一) 等差数列及其前n项和 第Ⅰ组：全员必做题 1．(2013·太原二模)设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和，若S10＝S11，则a1＝( ) A．18 C．22 B．20 D．24 第五章 数列（5） 第 6 页 共 28 页 秦 2．(2013·石家庄质检)已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，则n的值为( ) A．8 C．10 B．9 D．11 3．(2014·深圳调研)等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为( ) A．S7 C．S5 B．S6 D．S4 4．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S10>0并且S11＝0，若Sn≤Sk对n∈N*恒成立，则正整数k构成的集合为( ) A．{5} C．{5,6} B．{6} D．{7} 5．(2014·浙江省名校联考)已知每项均大于零的数列{an}中，首项a1＝1且前n项和Sn满足SnSn－1－Sn－1Sn＝2SnSn－1(n∈N*且n≥2)，则a81＝( ) A．638 C．640 B．639 D．641 6．已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a22－4，则an＝________. 7．已知等差数列{an}中，an≠0，若n≥2且an－1＋an＋1－a2n＝0，S2n－1＝38，则n等于________． 8．(2013·河南三市调研)设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋?＋|a15|＝________. 9．已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a2n＋n－4(n∈N*)． (1)求证：数列{an}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 第五章 数列（5） 第 7 页 共 28 页 秦 10．(2013·济南模拟)设同时满足条件：① bn＋bn＋2* ≤bn＋1(n∈N)；②bn≤M(n2 ∈N*，M是与n无关的常数)的无穷数列{bn}叫“特界”数列． (1)若数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和：a3＝4，S3＝18，求Sn； (2)判断(1)中的数列{Sn}是否为“特界”数列，并说明理由． 第Ⅱ组：重点选做题 1．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝r·an＋r(n∈N*，r∈R且r≠0)，则“r＝1”是“数列{an}为等差数列”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有Sn2n－3a9a3＝，则＋的值为________． Tn4n－3b5＋b7b8＋b4 答 案 第Ⅰ组：全员必做题 1．选B 由S10＝S11，得a1＋a2＋?＋a10＝a1＋a2＋?＋a10＋a11，即a11＝0，所以a1－2(11－1)＝0，解得a1＝20. 2．选C 由Sn－Sn－3＝51得， an－2＋an－1＋an＝51，所以an－1＝17， n?a2＋an－1?又a2＝3，Sn＝＝100，解得n＝10. 2?a4＋a7＝a5＋a6<0，?a5>0，?3．选C ∵∴? ?a5>0，?a6<0，∴Sn的最大值为S5. 10?a1＋a10? 4．选C 在等差数列{an}中，由S10>0，S11＝0得，S10＝>0?a1 211?a1＋a11? ＋a10>0?a5＋a6>0，S11＝＝0?a1＋a11＝2a6＝0，故可知等差数列{an} 2 第五章 数列（5） 第 8 页 共 28 页 秦 是递减数列且a6＝0， 所以S5＝S6≥Sn，其中n∈N*，所以k＝5或6. 5．选C 由已知SnSn－1－Sn－1Sn＝2SnSn－1可得，Sn－Sn－1＝2，∴{Sn}是以1为首项，2为公差的等差数列，故Sn＝2n－1，Sn＝(2n－1)2， ∴a81＝S81－S80＝1612－1592＝640. 26．解析：设等差数列的公差为d，∵a3＝a2－4， ∴1＋2d＝(1＋d)2－4，解得d2＝4， 即d＝±2.由于该数列为递增数列，故d＝2. ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. 答案：2n－1 7．解析：∵2an＝an－1＋an＋1， 2又an－1＋an＋1－an＝0， 2∴2an－an＝0，即an(2－an)＝0. ∵an≠0，∴an＝2. ∴S2n－1＝2(2n－1)＝38，解得n＝10. 答案：10 8．解析：由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列， 又由an＝2n－10≥0得n≥5， ∴当n≤5时，an≤0，当n>5时，an>0， ∴|a1|＋|a2|＋?＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋?＋a15)＝20＋110＝130. 答案：130 9．解：(1)证明：当n＝1时，有2a1＝a21＋1－4， 即a21－2a1－3＝0， 解得a1＝3(a1＝－1舍去)． 当n≥2时，有2Sn－1＝a2n－1＋n－5， 2又2Sn＝an＋n－4， 2两式相减得2an＝an－a2n－1＋1， 2即a2n－2an＋1＝an－1， 2也即(an－1)2＝an－1，
