解析几何教案第二章 轨迹与方程
而 OQ?(Rcos?)i,QP?(Rsin?)j,PM?uk, 所以 r?(Rcos?)i?(Rsin?)j?uk 这就是圆柱面的向量参数方程,它的坐标式参数方程为
s?x?Rco??? （5） ?y?sin?z?u?上式中的?,u为参数，它们的取值范围分别是：
??????,???u???.
空间曲面的参数方程与平面上的曲线的参数方程一样,它的表达形式也不是唯一的.比如例1中,如果把参数?改为由OP到OM的有向角,那么球面的参数方程为
?x?rcos?cos?,??y?rcos?sin?, ?z?rsin?,?2??2??????. （6） ????????????
三、球坐标系与柱坐标系
球坐标系
空间中与坐标原点的距离为r的人一点，总可以吧它看成在在以原点为中心，半径为r的球面上，因此当我们吧球面半径r看成变量时，公式（4）就说明了空间一点M的位置，如图2-11所示，如果吧r改写成?，并设
?OM??(??0),?xOP??(??????), ?POM??(??2????2)的值都确定，那么便有
x??cos?cos?,y??coa?sin?, z??sin?,M点的位置也就被确定了，反过来，空间M点的位置如果已经确定，那么三个值
?,?,?也就确定了(如果M点是原点，那么??0,?与?分别在??到?与??2到?2内
任意取定；如果M在z轴上，但不是原点，那么这时?可以在??到?内任意取定，而
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解析几何教案第二章 轨迹与方程
???2或??2)。这样就使空间的点出去z轴上的点，其余的点与有序三数组?,?,?建立了
一一对应关系，这种一一对应的关系叫做空间点的球坐标系，或称空间极坐标系，并把有序三数组?,?,?叫做空间点M的球坐标或称空间极坐标，记做M(?,?,?)，这里的
??0,??????,??2????2。
空间中点的直角坐标(x,y,z)与球坐标(?,?,?)关系为：
??0,y??coa?sin?, 其中 ??????,
??z??sin?,????x??cos?cos?,22?????x2?y2?z2,?xy?反过来，有关系?cos?? ,sin??2222x?yx?y??z???arcsin2x?y2?z2??
柱坐标系
空间中与z轴de 距离为R的点的集合构成以z轴为轴，半径为R的圆柱面（5）。当我们把圆柱面的半径R看成变量，并用?(??0)来表示时，那么由（5）可知?,?,?的值可以确定空间一点M的位置；反过来，如果M点的位置确定时，那么?,?,?的值也就确定（如果M在z轴上，那么?可以任意确定），这样我们在空间建立了另一种空间的点（出去z轴上的点外）与有序三数组?,?,?的一一对应关系，其中??0,??????,??????，这种一一对应的关系叫做柱坐标系，或称空间半极坐标系，并吧有序三数组?,?,?叫做点M的柱坐标，或称半极坐标，记做
M(?,?,?)。
空间的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(?,?,?)关系如下：
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?x??cos???y??sin? ?z??????0,??????????,? ?????????????x2?y2,?反过来，又有??cos?????
作业 P87?88 1,2,3，5
xx2?y2,sin??yx2,?y2 ??z 11
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§2.3 空间曲线的方程
教学目标：了解空间曲线的一般方程与参数方程 教学重点：空间曲线的坐标式参数方程,射影柱面的意义 教学难点：点的轨迹的参数方程表示法 教学过程 一. 一般方程
空间曲线,通常视为两个曲面的交线,设两曲面F1(x,y,z)?0, F2(x,y,z)?0 交于曲线L.
?F(x,y,z)?0 L上的(x,y,z)点满足 ?1,上述方程叫曲线L的一般方程.
?F2(x,y,z)?0例1、 写出z轴的方程。
?x?0?x?y?0解：? 或?
?y?0?x?y?0例2、 求在xOy坐标平面上，半径等于R，圆心为原点的圆的方程。
解 空间的圆总可以看做球面以平面的交线，在这里可以把所求的圆看成是原点 O为球心，半径为R的球面与坐标平面xOy的交线，所求圆的方程为：
?x2?y2?R2?x2?y2?z2?R2?x2?y2?z2?R2或?或? ?222z?0z?0???x?y?R 说明: 1.空间曲面的一般方程表达形式不唯一;
?x2?y2?z2?1 2.任意联立两曲面方程,可能不表示任何空间曲线.如：?2 22x?y?z?4?二. 空间曲线的参数方程
视空间曲线L为动点的轨迹时,通常用参数表示法:设向量函数 r(t)?x(t)i?y(t)j?z(k)t?[a,b]
M(x(t),y(t),z(t))OM?r(t) M在曲线L上
则空间曲线L上的参数方程
向量式为 r(t)?x(t)i?y(t)j?z(k)
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