全等的证明
6．（2010辽宁丹东市） 如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，
EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，
教学目标：熟练证明三角形的全等，灵活应用勾股定理求值 E（1）求证：△AEF≌△DCE
一、知识链接：
（2）求AE的长．
1.如图，点A、B、C、D在同一条直线上， FBE∥DF，?A??F，AB?FD. 求证：AE?FC。
ACDB
C
2.已知：如图，D 是 AC 上一点，AB ? DA ，DE ∥AB ，?B ? ?DAE . E D
7.如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且AE=BF，
求证： BC ? AE .
（1）求证：△ADE≌△BAF
（ 2 ）求证： AF ⊥ DE ．
3.已知：如图，点E，A，C在同一条直线上，
AB∥CD，AB?CE，AC?CD．
求证：BC?ED.
4.如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB. 求证：∠A＝∠E.
5.如图所示，在△ABC中，D是BC边的中点，F、E分别是AD的点，CF∥BE．
求证：△BDE≌△CDF；
8.如图，ABCD是正方形，G是BC上的一点，DE⊥AG于E，BF⊥AG于F． （1）求证：△ABF≌△DAE； （2）求证：DE=EF+FB．
9.如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上． （1）求证：CE=CF；
（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．
10.如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F． （1）求证：OE=OF；
（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
11、 如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG
为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度?，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
12.如图14-1，△ABC的边BC在直线l上，AC?BC，且AC?BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF?FP．
（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；
（2）将△EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ．猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
（3）将△EFP沿直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
A （E）
E A E A Q B
C （F） P l B F
C P l
F P B C l
图14-1
图14-2
Q 图14-3
13.在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等
F G 腰直角三角尺按如图15-1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点A 为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过
点B． B C （1）在图15-1中请你通过观察、测量BF与CG的 图15-1
长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系， G 然后证明你的猜想； F （2）当三角尺沿AC方向平移到图15-2所示的位置时，
A 一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条
E 直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于
B D C 点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG
的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足
图15-2 的数量关系，然后证明你的猜想；
G （3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图15-3E A 所示的位置（点F在线段AC上，
F 且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？
C （不用说明理由）
B D 图15-3
14.已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系。
（1）如图1，若AB＝BC＝AC，则AE与EF之间的数量关系是什么；
（2）如图2，若AB＝BC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证明；
15.如图12，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG.
⑴求证：①DE=DG； ②DE⊥DG；
⑵尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；
⑶连接⑵中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；
⑷当
CE?1时，请直接写出S正方形ABCDCBnS的值. 正方形DEFG
16.如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量
BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相
交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
F D( F ) N C D C N
O O F O G E A( G ) B( E ) A M B A
E G B M
图13－1 图13－2 图13－3
17．问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD=∠C（不需要证明）；
特例探究：如图2，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；
归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
拓展应用：如图4，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F
在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为
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