第七届全国高中青年数学教师优秀课观摩评比活动
函数的单调性
安徽省亳州市第一中学
史 嘉
2014年11月
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函数的单调性
安徽省亳州市第一中学 史嘉
一、教学内容解析 1．教材内容及地位
本节课是北师大版《数学》（必修1）第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言（不等式）刻画函数的变化趋势（上升或下降）及简单应用。
它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础。如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用。 因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地。 2．教学重点
函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性。 3．教学难点
函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证。 二、学生学情分析 1．教学有利因素
学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“y随x的增大而增大（减小）”描述函数图象的上升（下降）的趋势。亳州一中实验班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力。 2．教学不利因素
本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度。而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强。另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱。这些都容易产生思维障碍。 三、课堂教学目标
1．理解函数单调性的相关概念。掌握证明简单函数单调性的方法。
2．通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，
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体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法。
3．通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量。 4．引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力。 四、教学策略分析
在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“y随x的增大而增大（减小）”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证。对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度。
为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料：
1．指导思想。 充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示。在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成。
2．在“创设情境”阶段。 观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数单调性，明确相关概念。
3．在“引导探索”阶段。 首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”，借助多媒体引导学生对“y随x的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越。
4．在“学以致用”阶段。 首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识。 然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法。接着请学生板演实践。 五、教学过程
（一）创设情境，引入课题
实例 科考队对沙漠气候进行科学考察，下图是某天气温随时间的变化曲线。请你根据曲线图说说气温的变化情况？
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预设：学生的关注点不同，如气温的最值，某时刻的气温，某时间段气温的升降变化（若学生没指明时间段，可追问），等。 图象在某区间上（从左往右）“上升”或“下降”的趋势反映了函数的一个基本性质——单调性（板书课题）。
设计说明：从科考情境导入新课，了解“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候，直观形象感知气温变化，自然引入函数的单调性。
函数是描述事物变化规律的数学模型。 如果清楚了函数的变化规律，那么就基本把握了相应实物的变化规律。在事物变化过程中，保存不变的特征就是这个事物的性质。因此，研究函数的变化规律是非常有意义的。 问题1 ：观察下列函数图象，请你说说这些函数有什么变化趋势？
设计说明：学生回答时可能会漏掉“在某区间上”，规范表达“函数在哪个区间上具有怎样的单调性”。 借此强调函数的单调性是相对某区间而言的，是函数的局部性质。
设函数的定义域为I，区间D?I。在区间D上，若函数的图象（从左向右）总是上
升的，即y随x的增大而增大，则称函数在区间D上是递增的，区间D称为函数的单调增区间；（学生类比定义“递减”，接着推出下图，让学生准确回答单调性。）
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