15．在YABCD中，?A?30?，AD?43，连接BD，若BD?4，则线段CD的长为 4或8 ．
【解答】解：作DE?AB于E，如图所示： Q?A?30?，
?DE?1AD?23， 2?AE?3DE?6，BE?BD2?DE2?42?(23)2?2，
?AB?AE?BE?4，或AB?AE?BE?8，
Q四边形ABCD是平行四边形， ?CD?AB?4或8；
故答案为：4或8．
16．如图，在平行四边形ABCD中，AB?2，BC?5．?BCD的平分线交AD于点F，交BA的延长线于点E，则AE的长为 3 ．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB?2，BC?5， ?CD?AB?2，AD?BC?5，AD//BC， ??DFC??FCB， QCE平分?DCB， ??DCF??BCF， ??DFC??DCF， ?DC?DF?2， ?AF?3， QAB//CD， ??E??DCF，
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又Q?EFA??DFC，?DFC??DCF， ??AEF??EFA， ?AE?AF?3，
故答案为：3．
17．如图，在四边形ABCD中，?A?90?，M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），E、F分别为DM、MN的中点，若AB?23，AD?2，则EF长度的最大值为 2 ．
【解答】解：连接BD、DN， 在Rt?ABD中，DB?AD2?AB2?4， Q点E、F分别为DM、MN的中点， ?EF?1DN， 2由题意得，当点N与点B重合时，DN最大， ?DN的最大值是4，
?EF长度的最大值是2，
故答案为：2．
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18．如果一个平行四边形的一个内角的平分线分它的一边为1:2两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”，当协调边为6时，它的周长为 16或20 ．
【解答】解：如图所示：①当AE?2，DE?4时， Q四边形ABCD是平行四边形， ?BC?AD?6，AB?CD，AD//BC， ??AEB??CBE，
QBE平分?ABC， ??ABE??CBE，
??ABE??AEB， ?AB?AE?2，
?平行四边形ABCD的周长?2(AB?AD)?16；
②当AE?4，DE?2时， 同理得：AB?AE?4，
?平行四边形ABCD的周长?2(AB?AD)?20；
故答案为：16或20．
三．解答题（共7小题）
19．如图，在?ABC中，AB?AC，点D、点E是BC、AC的中点，用已经学习过的定理说明：DE?1AC． 2
【解答】解：Q?ABC中，AB?AC，点D是BC的中点， ?AD?BC，
QE为AC的中点，
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?DE?1AC． 220．已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD 交于F．
求证：四边形AECF是平行四边形．
【解答】证明：Q平行四边形ABCD中AB//CD，
??OAE??OCF，
又QOA?OC，?COF??AOE，
??AOE??COF(ASA)，
?OE?OF，
?四边形AECF是平行四边形．
21．如图，在?ABC中，?ABC?90?，?BAC?60?，?ACD是等边三角形，E是AC的中点，连接BE并延长，交DC于点F，求证： （1）?ABE??CFE；
（2）四边形ABFD是平行四边形．
【解答】证明：（1）Q?ACD是等边三角形， ??DCA?60?， Q?BAC?60?， ??DCA??BAC，
在?ABE与?CFE中， ??DCA??BAC?， ?AE?CE??BEA??FEC?16
