导数中的不等式证明
【考点点睛】
放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。即使如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！ 放缩法的合理使用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。
命题角度1 构造函数 命题角度2 放缩法 命题角度3 切线法
命题角度4 二元或多元不等式的证明思路 命题角度5 函数凹凸性的应用
在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.
命题角度5 函数凹凸性的应用
【考法点拨】不等式恒成立问题中，很多试题的几何背景是曲线与切线静态或动态的上下位置关系，进而应用曲线的凸凹性可获得思路自然、过程简洁的图解.
【知识拓展】一般地，对于函数f(x)的定义域内某个区间D上的不同的任意两个自变量的值x1,x2，
①总有f(x1?x2f(x1)?f(x2))?（当且仅当x1=x2时，取等号），则函数f(x)在D上是凸函数，其22几何意义：函数f(x)的图象上的任意两点所连的线段都不落在图象的上方.f??(x)?0，则f?(x)单调递减，f(x)在D上为凸函数；
②总有f(x1?x2f(x1)?f(x2))?（当且仅当x1=x2时，取等号），22y y?f?x? 则函数f(x)在D上是凹函数，其几何意义：函数f(x)的图象上的任意
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O x 两点所连的线段都不落在图象的下方.f??(x)?0，则f?(x)单调递增，f(x)在D上为凹函数.
【典例11】（安徽省太和中学2019届5月质检）已知函数f?x???x?1?lnx，曲线y?f(x)在x?1处的切线方程为y?ax?b．
（1）求证：x?1时，f?x??ax?b；
ln?n2?2?23ln2ln7（2）求证：??...????n?2,n?N*?． 216n?3n2【解析】（1）函数f?x?的定义域为?0,???，f??x??lnx?x?1， x又f??1??2，f?1??0，所以该切线方程为y?2?x?1?．
x?1?0，所以f?x?为凹函数，必有?x?1?lnx?2?x?1?﹞ x21设F?x???x?1?lnx?2x?2?x?1?，则F??x??lnx??1，
x11x?1令g?x??F??x?，则g??x???2?2，
xxx……﹝因为f???x??当x?1时，g??x??0，所以g?x??F??x?在?1,???上单调递增，
又g?1??0，所以g?x??F??x??0，即F?x?在?1,???上单调递增，
所以F?x??F?1??0，故x?1时，f?x??ax?b；
（2）由（1）知：当x?1时，?x?1?lnx?2?x?1?. ……﹝利用切线法放缩的途径﹞
令x?n2?2?1?n?2,n?N?，则n2?1lnn2?2?2n2?3， 所以
??????ln?n2?2?n2?3?2211???， n2?1?n?1??n?1?n?1n?1所以
?k?2nln?k2?2?k2?31??11??1??11??11??11??1??1???????????????...????????， ?3??24??35??46??n?2n??n?1n?1?11132?1?????，得证.
2nn?12nx?1x?1，f???x??2?0，说明函xx化简可得
?k?2nln?k2?2?k2?3【方法归纳】本题f?x???x?1?lnx?x?1?，其f??x??lnx?数f?x???x?1?lnx?x?1?为凹函数，所以有?x?1?lnx?2?x?1?.此类问题实质上，第（1）小题的研究正是为第（2）小题的解决而服务的，表现“层层递进”的特点.
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【典例12】（成都市2019届高中毕业班二诊文科）已知函数f?x??xlnx?ax?1,a?R. （1）当x?0时，若关于x的不等式f?x??0恒成立，求a的取值范围； （2）当x??1,???时，证明：
e?x?1??lnx?x2?x. xe1恒成立， x111x?1令u?x??lnx?，则u??x???2?2，
xxxx【解析】（1）由f?x??0，得?a?lnx?所以u?x?在?0,1?上单调递减，在?1,???上单调递增， 所以u?x?的最小值为u?x?min?u?1??1，
所以?a?1，即a??1，故a的取值范围是??1,???； （2）有（1）知a??1时，有xlnx?x?1，
……﹝直线y?x?1是函数y?xlnx的切线，因为y???所以lnx?1?0，则xlnx?x?1﹞ xx?1. ……﹝向待证式的结构靠拢寻求放缩的途径﹞ x①要证
e?x?1?e?x?1?x?1?lnx?，可证?x?1?，只需证ex?1?x， xxeex………﹝ex?x?1也是应用函数的凸凹性实行切线放缩的重要途径﹞
易证e?x?1（证明略），所以exx?1?x；
2②要证lnx?x?x，可证lnx?x?1， ……﹝lnx?x?1往往是含有lnx的不等式放缩的途径﹞
2易证lnx?x?1（证明略），因为x?1,x?1?0，所以x?1?x?x?1??x?x，
所以lnx?x?x，
2综上所述，当x??1,???时，证明：
e?x?1?2?lnx?x?x. xe【方法归纳】若第（1）小题是探求参数的范围问题，第（2）小题的解决往往使用第（1）小题所求范围的界点对于的不等关系实行放缩，此类问题实质就是应用函数凸凹性实行切线放缩法.
【典例13】（咸阳市2019届三模）已知函数f?x??xlnx，g?x??a?x2?x?2.
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（1）若f?x??g?x?在?1,???上恒成立，求实数a的取值范围；
?1??2?1?L（2）求证：?1?2??2????n?1??????n?1????n??e. ?1?2????n?1???【解析】（1）f?x??g?x?等价于xlnx?a?x2?x?2?0，即x?lnx???a?x?1????0， 2?记h?x??lnx?a?x?1?1a2?ax，则h??x????，
x22x2当a?0时，h??x??0，h?x?在?1,???上单调递增，由h?1??0，h?x??h?1??0， 所以xh?x??0，即f?x??g?x?不恒成立； 当0?a?2时，
2?2??1,x??1,?时，h??x??0，h?x?单调递增，f?x??g?x?不恒成立； a?a?当a?2时，x??1,???，h??x??0，h?x?在?1,???上单调递减，h?x??h?1??0，所以
xh?x??0，即f?x??g?x?恒成立；
故f?x??g?x?在?1,???上恒成立，实数a的取值范围是?2,???；
（2）当a?2时，f?x??g?x?在?1,???上成立，即lnx?x?1，
………﹝lnx?x?1也是应用函数的凸凹性实行切线放缩的重要途径﹞
?k?kln1??令x?1?，则， ,k?1,2,L,n??222??n?1???n?1????n?1?k??k?1??2??ln?1?1?L所以?ln?1?2?2??2?k?1????n?1?????n?1??????n?1???n?n? ?1?2????n?1???2?1?n?1?2?2?n?1?2?L?n?n?1??n?n?1?2?n?1?2?n1?，
2?n?1?2?n??e ?1?2????n?1???1【方法归纳】当a?2时，y?lnx，因为y??在?0,???上单调递减，所以y?lnx为凸函数，
x则切线在函数y?lnx的图象的上方，所以lnx?x?1.
?1??2?1?L所以?1?2??2????n?1??????n?1???4
