∵∠BAC＝90° ∴∠BAD+∠CAE=90° ∵∠BAD+∠ABD=90°
∴∠CAE=∠ABD??????1分 又AB=AC
∴△ADB≌△CEA??????2分 ∴AE=BD，AD=CE ∴DE=AE+AD= BD+CE ??????3分 C B (2)∵∠BDA =∠BAC=?，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°—? D
A E m
∴∠DBA=∠CAE??????4分 （图2）
∵∠BDA=∠AEC=?，AB=AC ∴△ADB≌△CEA??????5分 ∴AE=BD，AD=CE ∴DE=AE+AD=BD+CE??????6分 （3）由（2）知，△ADB≌△CEA， BD=AE，∠DBA =∠CAE
∵△ABF和△ACF均为等边三角形 ∴∠ABF=∠CAF=60° ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF F ∴∠DBF=∠FAE??????8分 ∵BF=AF
C B O ∴△DBF≌△EAF??????9分 D
A
E
m ∴DF=EF，∠BFD=∠AFE
（图3）
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60° ∴△DEF为等边三角形.??????10分
点拨：利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法.
13
24．（5-6与二次函数相关的综合题·2013东营中考）(本题满分12分) 已知抛物线y=ax+bx+c的顶点A（2，0），与y轴的交点为
2
B（0，-1）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A．并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标．
(3)在（2）的基础上，设直线x=t（0 （第24题图） O B A x 24. (本题满分12分)解析：（1）已知抛物线的顶点坐标，可直接设抛物线的解析式为顶点 式进行求解. （2）设C点坐标为（x,y）,由题意可知?BAC?90.过点C作CD?x轴于点D,连接AB,AC.易证?AOB??CDA,根据对应线段成比例得出x,y的关系式y??2x?4，再根据点C在抛物线上得y??012x?x?1，联立两个关系式组成方程组，求出x,y的值，再根据点C所4在的象限确定点C的坐标。P为BC的中点，取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线．可得OH?1OD?5,故点H的坐标为（5,0）再根据点P在BC上，可求出直线BC的21MN?10?5MN，所以求S?BCN的最大值2解析式，求出点P的坐标。 （3）根据S?BCN?S?BMN?S?CMN,得S?BCN?就是求MN的最大值，而M,N两点的横坐标相同，所以MN就等于点N的纵坐标减去点M的纵坐标,从而形成关于MN长的二次函数解析式，利用二次函数的最值求解。 解：(1) ∵抛物线的顶点是A(2,0)，设抛物线的解析式为y=a(x-2). 由抛物线过B(0,-1) 得4a=-1，∴a=-∴抛物线的解析式为y=-21．????????2分 41(x-2)2. 4 14 即y=-12x+x-1．????????????3分 4 (2)设C的坐标为(x，y). ∵A在以BC为直径的圆上.∴∠BAC=90°． 作CD⊥x轴于D ,连接AB、AC． ∵?BAO??DAC?90,?DAC??DCA?90∴?BAO??DCA ∴ △AOB∽△CDA．?????????4分 ∴∴OB·CD=OA·AD． 即1·y=2(x-2).∴y=2x-4． ∵点C在第四象限. ∴y=-2x+4????????????5分 P 00OBOA= ADCDy O B A H D x ìy=-2x+4,??x1?10?x2?2,?由í解得 ?． 12y?10y?0?y=-x+x-1?1?2?4∵点C在对称轴右侧的抛物线上. ∴点C的坐标为 (10,-16)．????????6分 ∵P为圆心，∴P为BC中点． 取OD中点H，连PH，则PH为梯形OBCD的中位线． y O B A C （第24(2)答案图） x=t 117∴PH=(OB+CD)=．????????7分 22∵D(10,0)∴H (5,0)∴P (5, -N x 17)． 2M 故点P坐标为(5，-17)．??????????8分 2??12? BC交于点M. t?t?1?，直线x=t（0 C ?(3)设点N的坐标为?t，11SDBMN=MN t，SDCMN=MN?(10t)22 15 所以SDBCN=SDBMN+SDCMN=1MN 10 ?????????9分 2设直线BC的解析式为y=kx+b，直线BC经过B(0,-1)、C (10,-16) 3??b??1,?k??,所以?成立，解得：?2??????????10分 10k?b??16???b??1所以直线BC的解析式为y=-33???t?1? x-1，则点M的坐标为.?t，22????MN=??t?t?1????t?1?=-?1?42??3??2125t+t?????????11分 42115SDBCN=(-t2+t) 10 242 =-52255125t+t=-(t-5)2+ 4244125.??????????12分 42所以，当t=5时，SDBCN有最大值，最大值是 点拨：（1）已知抛物线的顶点坐标（h,k）一般可设其解析式为y?a?x?h??k.(2)求最值问题一般考虑根据已知条件构造二次函数求解. 16
