开环系统频率特性曲线的绘制方法
(一) 已知系统开环传递函数Gk(s)，绘制Nyquist曲线（开环幅相曲线） 一、ω：0＋→＋∞
1、由已知的Gk(s)求Gk(j?)?Gk(s)s?j?，A(ω)，φ(ω) ，P(ω)，Q (ω)；
22???(1?j?Tj)?[(1?2)?j2?k]?(1?j?Tj)?[(1?2)?j2?k?]??kj?k?k?kjkk112211112222m11m21m12m22Gk(j?)?k(j?)v?(1?j?T)?[(1???i1i1l1n11n2122l1)?j2?l1?]?(1?j?Ti2)?[(1??2)?j2?l2?]n12i2n22l22 （1）
?l1?l2?l2式中：分子多项式中最小相位环节的阶次和为m1?m11?2m21，
分子多项式中非最小相位环节的阶次和为m2?m12?2m22， 分母多项式中最小相位环节的阶次和为n1?n11?2n21?v， 分母多项式中非最小相位环节的阶次和为n2?n12?2n22，
分子多项式阶次之和为m?m1?m2，分母多项式阶次之和为n?n1?n2。 注：式中仅包含教材p192所列5种非最小相位环节，不包含形如Ts?1、
1、1、2Ts?1s?2?s?12?n?n?ns2?2?s?1等非最小相位环节。 2?n2、求N氏曲线的起点
当ω→0＋时，（1）式可近似为：
??0?limGk(j?)?k(j?)v （2）
于是，N氏曲线的起点取决于开环放大系数k和系统的型v。
① 当v?0时，N氏曲线起始于实轴上的一点（k，0）或（－k，0）； ② 当v?0时，N氏曲线起始于无穷远点：
k?0时，沿着角度?(?)??v??起始于无穷远点；
2 k?0时，沿着角度?(?)????v??起始于无穷远点。
2③ 当v?0时，N氏曲线起始于原点：
k?0时，沿着角度?(?)?v??起始于原点；
2 k?0时，沿着角度?(?)????v??起始于原点。
23、求N氏曲线的终点
当ω→＋∞时，（1）式中各环节的相角分别为：
(1?j?T)环节的相频特性：tg?1?T??，
12
1
Q(?))???， (1?j?T)环节的相频特性：tg?1??T(1P(?)22[(1??2)?j2??]环节的相频特性：tg?1?n?n?n?nQ(?)?1?tg()??， 2?P(?)1?21??2??n?n?2???2?12??2?12?n?nQ(?)?1??tg()???， [(1?2)?j2??]环节的相频特性：tg?12?n?P(?)1?n??21?2??n?n?k?0, ?(?)?0?环节的相频特性：?v?，K环节的相频特性：?。
2(j?)vk?0,?(?)????1于是，当ω→＋∞时，
① n?m，limGk(j?)?k，N氏曲线终止于实轴上的一点（k，0）或（－k，0）
????② n?m，N氏曲线终止于原点；
③ n?m，N氏曲线终止于无穷远点。 其终点的相频特性为：
?(?)?k的相角＋m11???m21???m12?(??)?m22?(??)22 ?v???n11???n21???n12?(??)?n22?(??)2222 =k的相角＋m1???m2???n1???n2??2222?[(m?m)?(n?n)]??, k?0212?12 =??[(m1?m2)?(n1?n2)]????, k?0?2 （3)
特殊地，当开环系统为最小相位系统时，有：k?0，m12?m22?n12?n22?0，则分子的阶次为
m?m1?m11?2m21，分母的阶次为n?n1?n11?2n21?v。
① n?m，N氏曲线终止于实轴上的一点（k，0）；
② n?m，N氏曲线沿着角度?(?)??(n?m)??终止于原点；
2③ n?m，N氏曲线沿着角度?(?)?(m?n)??终止于无穷远点。
24、求ω：0＋→＋∞中的一些特色点：如N氏曲线与实轴或虚轴的交点；极值点等等。 5、若开环系统存在等幅振荡环节，即开环频率特性（1）式中具有形如
1(1??2)2的因子时（无论最小相
?n位系统还是非最小相位系统），N氏曲线在ωn处有无穷远间断点（A(ω)→∞），即N氏曲线为由ω：0＋
→ωn-和ω：ωn＋→＋∞两段曲线所组成。
G2(j?)?1(1??2)2环节在???n处的相频特性为：
?n 2
??10(Q(0))?0?tg2?P(?)?n1?2???n? lim?2(?)??tg?102?????n1??2??tg?10(Q(0))???2?n?P(?)?n?1?2??n? 设当???n时，（1）式中除
2?(1?2)?n1环节外，G1(jω)不含???j?n的开环极点，也即：
A1(?)??1(?)???n????1(?n), ???n? （4） Gk(j?)?G1(j?)G2(j?)????22??[?(?)??], ?????1nn??(1?2)(1?2)G1(j?)?n?n
二、ω：－∞→0－
因为幅频特性是关于ω的偶函数，而相频特性是关于ω的奇函数，所以ω：－∞→0－的幅相曲线与ω：0＋→＋∞的幅相曲线关于实轴成镜像对称。
三、ω： 0－→0＋
对于（1）式，当ω→0－时，有：limGk(j?)???0?k (?j?)v① 当v?0时，N氏曲线为实轴上的一点（k，0）或（－k，0）； ② 当v?0时，N氏曲线起始于无穷远点：
k?0时，沿着角度?(?)?v??起始于无穷远点；
2 k?0时，沿着角度?(?)????v??起始于无穷远点。
2③ 当v?0时，N氏曲线起始于原点：
k?0时，沿着角度?(?)??v??起始于原点；
2 k?0时，沿着角度?(?)????v??起始于原点。
2于是，对于（1）式系统：
1、 当v?0，ω从0－→0＋的N氏曲线为实轴上同一点（k，0）或（－k，0）； 2、 当v?0，
k?0时，ω从0－→0＋的N氏曲线为半径为∞、角度从v??→?v??的2v?1?v个圆。
2242k?0时，ω从0－→0＋的N氏曲线为半径为∞、角度从???v??→???v??的2v?1?v2242个圆。
3、当v?0，
k?0时，ω从0－→0＋的N氏曲线分别沿角度?v??、v??趋于原点。
22k?0时，ω从0－→0＋的N氏曲线分别沿角度???v??、???v??趋于原点。
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(二) 已知系统开环传递函数Gk(s)，绘制Bode图（开环对数频率特性曲线） 一、迭加法
1、由已知的Gk(s)求Gk(j?)?Gk(s)s?j?，A(ω)，φ(ω)；
Gk(j?)如（1）式所示，
A(?)?kv??i?1j?1n1m11??Tj22?k?1n2l?1m1m22?(1?2)2?(2?k?)2?k?k2?1??2Ti2?(1??2)2?(2?l?)2 （4）
?l?ln1L(?)?20lgA(?)?20lgk?v?20lg???20lg1??Tj??20lg1??2Ti222j?1i?1 ??20lg(1??2)2?(2?k?)2??20lg(1??2)2?(2?l?)2k?1m22n22 （5）
?k?kl?1?l?l?(?)?k的相角+?tgj1?1m11?1?Tj11??tgk1?1m21?12?k1??k??Tj?k?1?1??tg??tg221??j?1k?11?21?2?k?km12m22122212112222122?2?k2?22?l?n?2?l?nnn?Ti?l??Ti?l?1?1 ?v????tg?1??tg?1?tg?tg??222i?11l?11??i?1l?11?21?2?l?l11211112212 （6）
2、在对数坐标上，先作出各基本因子对应的典型环节的对数幅频特性和相频特性；再逐点相加，即可得到系统的开环对数频率特性曲线。
二、实用法（以分段直线近似代替实际曲线）
实际绘制Bode曲线时，可不必分别画出各环节的特性曲线再相加，而是按以下步骤一次完成（用分段直线近似代替实际曲线） 1、 确定k值，v值和各个交接频率
?j? 根据（1）式，将各转折频率（交接频率）：
11111?i1?，， ?k1， ?j2?， ?k2， ?l1， ?i2?，
Tj1Tj2Ti1Ti2?l按从小到大的顺序依次标注在频率轴上。
22、 绘制系统对数幅频特性的低频渐近线 lim20lgA(?)?lim20lg L低(?)???0??0k(j?)v?lim20lg??0k?v?20lgk?v20lg? （7）
（7）式为斜率等于?20?vdB/dec，过当??1、L(?)?20lgk一点（即过点（1，20lgk））的直线方程； 或为斜率等于?20?vdB/dec，过L低(?)?0、??k一点（即过点（k，0））的直线方程。
3、 以低频渐近线作为近似分段直线的第一段，从低频段开始，沿频率增大的方向，每遇到一个交接频率改变一次分段直线的斜率
当遇到?j?11v1v11、?j2?时，斜率变化为?20dB/dec； Tj1Tj22当遇到?k、?k时，斜率变化为?40dB/dec；
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