全国名校高考数学一轮复习优质专题汇编（知识点详解附专题训练）
第8节 基本不等式的实际应用
【基础知识】
利用基本不等式求解实际应用题的方法
(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．
(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．
【规律技巧】
用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 【典例讲解】
【例1】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升
?x2?
2元，而汽车每小时耗油?2＋?升，司机的工资是每小时14元．
360??
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
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(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
【规律方法】有关函数最值的实际问题的解题技巧
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；
(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．
【变式探究】 首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处1理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝
2
x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价
值为100元．
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？
【针对训练】
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1、要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）. 【答案】88
【解析】假设底面长方形的长宽分别为x, . 则该容器的最低总造价是y?80?20x?80?160.当且仅当x?2的时区到最小值. x4x2、如图，有一块等腰直角三角形ABC的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形EFGH的绿地，已知AB?AC,AB?4，绿地面积最大值为（ ）
A.6 B.42 C.4 D.22 【答案】C
综合点评：对于应用题要通过阅读、理解所给定的材料寻找量与量之间的内在联系建立起数学模型，然后利用不等式的知识解决题目所提出的问题．
3、为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C?x??k(0?x?10，k为常数)，若不建隔热层，3x?5每年能源消耗费用为8万元．设f?x?为隔热层建造费用与20年的能
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源消耗费用之和．
（1）求k的值及f?x?的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用f?x?达到最小？并求出最小值．
4、设函数f(x)?a??x2?4x和g(x)?x?1，已知x∈[－4，0]时恒有f(x)?g(x)，则实数a的取值范围为 ． 【答案】a??5
【练习巩固】
1．小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．
(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？ (2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)
【解析】(1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元，
则y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50(0＜x≤10，x∈N)， 即y＝－x2＋20x－50(0＜x≤10，x∈N)，
由－x2＋20x－50＞0，解得10－52＜x＜10＋52.
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