规范练?四? 立体几何
1．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA⊥底面ABCD，BD⊥PC，E是PA的中点． (1)求证：平面PAC⊥平面EBD；
(2)若PA＝AB＝AC＝2，求三棱锥P－EBD的体积．
(1)证明 ∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BD，又BD⊥PC，PA∩PC＝P， ∴BD⊥平面PAC， ∵BD?平面EBD， ∴平面PAC⊥平面EBD. (2)解 由(1)可知BD⊥AC，
所以四边形ABCD是菱形， ∠BAD＝120°，
11∴S△ABD＝BD·OA＝×23×1＝3.
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∴VP－EBD＝VP－ABD－VE－ABD＝3×3×2－3×3×1＝3. 2．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，点V是圆O所在平面外一点，D是AC的中点，已知AB＝2，VA＝VB＝VC＝2.
(1)求证：OD∥平面VBC； (2)求证：AC⊥平面VOD； (3)求棱锥C－ABV的体积．
(1)证明 ∵O、D分别是AB和AC的中点， ∴OD∥BC.又OD?平面VBC，BC?平面VBC， ∴OD∥平面VBC.
(2)证明 ∵VA＝VB，O为AB中点，∴VO⊥AB.
连接OC，在△VOA和△VOC中，OA＝OC，VO＝VO，VA＝VC， ∴△VOA≌△VOC，
∴∠VOA＝∠VOC＝90°，∴VO⊥OC.
又∵AB∩OC＝O，AB?平面ABC，OC?平面ABC， ∴VO⊥平面ABC.
又∵AC?平面ABC，∴AC⊥VO. 又∵VA＝VC，D是AC的中点， ∴AC⊥VD.
∵VO?平面VOD，VD?平面VOD，VO∩VD＝V， ∴AC⊥平面VOD.
(3)解 由(2)知VO是棱锥V－ABC的高，且VO＝VA2－AO2＝3. 又∵点C是弧AB的中点， ∴CO⊥AB，且CO＝1，AB＝2，
11∴三角形ABC的面积S△ABC＝2AB·CO＝2×2×1＝1，
113∴棱锥V－ABC的体积为VV－ABC＝3S△ABC·VO＝3×1×3＝3，
