内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 1.1.2 余 弦 定 理
余弦定理 [提出问题]
在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，A＝60°. 问题1：这个三角形确定吗？ 提示：确定．
问题2：你能利用正弦定理求出BC吗？ 提示：不能．
问题3：能否利用平面向量求边BC？如何求得？ 提示：能．
∵―BC→＝―AC→－―AB→，
∴|―BC→|2＝|―AB→|2＋|―AC→|2－2―AB→·―AC→ ＝|―AB→|2＋|―AC→|2－2|―AB→||―AC→
|cos A ＝4＋9－2×2×3cos 60° ＝7.
∴|―BC→
|＝7.
问题4：利用问题3的推导方法，能否推导出用b，c，A表示a? 提示：能． [导入新知] 余弦定理
1
a2＝b2＋c2－2bccos_A， 公式表达 b2＝a2＋c2－2accos_B， c2＝a2＋b2－2abcos_C 余 弦 定 理 语言叙述 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 b2＋c2－a2cos A＝， 2bc推论 a2＋c2－b2cos B＝， 2aca2＋b2－c2cos C＝ 2ab[化解疑难] 对余弦定理的理解
(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．
(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．
(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．
已知三角形的三边解三角形 [例1] 在△ABC中： (1)a＝3，b＝4，c＝37，求最大角； (2)a∶b∶c＝1∶3∶2，求A，B，C的大小． [解] (1)由c>b>a，知C最大，
a2＋b2－c232＋42－371
∵cos C＝＝＝－，
2ab2×3×42
∴C＝120°.
(2)∵a∶b∶c＝1∶3∶2，
∴设a＝x，则b＝3x，c＝2x(x>0)． 由余弦定理，得
b2＋c2－a23x2＋4x2－x23
cos A＝＝＝，
2bc223x·2x∴A＝30°.
2
1
同理cos B＝，cos C＝0，
2∴B＝60°，C＝90°. [类题通法]
已知三角形的三边解三角形的方法
(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．
(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角． [活学活用]
在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和另外两角的余弦值． 解：∵a>c>b，∴A为最大角，
由余弦定理得，cos A＝b2＋c2－a232＋52－722bc＝2×3×5＝－1
2
，
又∵0° cos B＝a2＋c2－b272＋522ac＝－3213 2×7×5＝14； b2cos C＝＋a2－c232＋72－5211 2ab＝2×7×3＝14 . 已知三角形的两边及其夹角解三角形 [例2] 在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，c＝4(3＋1)，解此三角形． [解] 由余弦定理得： b2＝a2＋c2－2accos B ＝82 ＋[4(3＋1)]2 －2×8×4(3＋1)·cos 60° ＝64＋16(4＋23)－64(3＋1)×1 2＝96， ∴b＝46. 法一：由cos A＝b2＋c2－a2 2bc 2 ＝96＋3＋ －64 2×463＋ ＝ 22 ， ∵0°＜A＜180°，∴A＝45°. 故C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°. 法二：由正弦定理a＝bsin Asin B， 3 ∴ 8462＝，∴sin A＝.∵b＞a，c＞a， sin Asin 60°2 ∴a最小，即A为锐角． 因此A＝45°. 故C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°. [类题通法] 已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法 先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解． 若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题[在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的]，故用余弦定理求解较好． [活学活用] 在△ABC中，已知a＝22，b＝23，C＝15°，解此三角形． 解：c＝a＋b－2abcos C ＝(22)＋(23)－2×22×23×cos(45°－30°) ＝8－43 ＝(6－2) ， ∴c＝6－2. 法一：由余弦定理的推论得 2 2 2 2 2 2 b2＋c2－a2cos A＝＝ 2bc3 2 ＋6－2 2 －2 2 2×236－2 ＝2. 2 ∵0°＜A＜180°，∴A＝45°， 从而B＝120°. 法二：由正弦定理得sin A＝∵a＜b，∴A＜B， 又∵0°＜A＜180°， asin C＝c22× 6－24 6－2 ＝2. 2 ∴A必为锐角，∴A＝45°，从而得B＝120°. 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形 [例3] 在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求A，C，a. [解] 法一：由余弦定理b＝a＋c－2accos B， 得3＝a＋(33)－2a×33×cos 30°， ∴a－9a＋18＝0，得a＝3或6. 4 22 2 2 2 2 2
