第四节
基本不等式
[知识能否忆起]
a＋b
一、基本不等式ab≤
2
1．基本不等式成立的条件：a>0，b>0. 2．等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 二、几个重要的不等式
ba
a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同号)．
aba＋b?2a＋b?2a＋bab≤?(a，b∈R)；??2??2?≤2(a，b∈R)． 三、算术平均数与几何平均数
a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：
2两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
四、利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小)
p2
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)
4
[小题能否全取]
1
1．(教材习题改编)函数y＝x＋(x＞0)的值域为( )
xA．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．[2，＋∞)
B．(0，＋∞) D．(2，＋∞)
2
2
1
解析：选C ∵x＞0，∴y＝x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号．
x2．已知m>0，n>0，且mn＝81，则m＋n的最小值为( ) A．18
B．36
C．81 D．243
解析：选A ∵m>0，n>0，∴m＋n≥2mn＝18.当且仅当m＝n＝9时，等号成立． 3．(教材习题改编)已知0 1B. 22D. 3 11931 解析：选B 由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等 33442号成立． 4 4．若x>1，则x＋的最小值为________． x－144 解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5. x－1x－14 当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立． x－1答案：5 25 5．已知x＞0，y＞0，lg x＋lg y＝1，则z＝＋的最小值为________． xy解析：由已知条件lg x＋lg y＝1，可得xy＝10. 25则＋≥2 xy 25?10＝2，故?当且仅当2y＝5x时取等号．又xy＝10，即x＝2，?x＋y?min＝2，xy y＝5时等号成立． 答案：2 1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 2．对于公式a＋b≥2ab，ab≤? a＋b?2 ?2?，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系， 两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系． 3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2aba2＋b2a＋ba＋b?2 逆用就是ab≤；≥ab(a，b>0)逆用就是ab≤?22?2?(a，b>0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 利用基本不等式求最值 典题导入 4 [例1] (1)已知x＜0，则f(x)＝2＋＋x的最大值为________． x (2)(2012·浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( ) 2428A. B. 55C．5 D．6 [自主解答] (1)∵x＜0，∴－x＞0， 44 ∴f(x)＝2＋＋x＝2－?－x＋?－x??. x?? 44 ∵－＋(－x)≥24＝4，当且仅当－x＝，即x＝－2时等号成立． x－x4 ∴f(x)＝2－?－x＋?－x??≤2－4＝－2， ?? ∴f(x)的最大值为－2. 113?＋＝1. (2)∵x＞0，y＞0，由x＋3y＝5xy得?5?yx? 1?1＋3?＝1?3x＋4＋9＋12y?＝13＋1?3x＋12y?≥13＋1∴3x＋4y＝·(3x＋4y)·x?x??yx?5?y555?y55×2 3x12y·＝5(当且仅当x＝2y时取等号)，∴3x＋4y的最小值为5. yx [答案] (1)－2 (2)C 本例(2)条件不变，求xy的最小值． 解：∵x＞0，y＞0，则5xy＝x＋3y≥2x·3y， 12 ∴xy≥，当且仅当x＝3y时取等号． 2512 ∴xy的最小值为. 25 由题悟法 用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件． 以题试法 1．(1)当x＞0时，则f(x)＝ 2x 的最大值为________． x＋1 2(2)(2011·天津高考)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________． (3)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________． 2x22解析：(1)∵x＞0，∴f(x)＝2＝≤＝1， 12x＋1 x＋x1 当且仅当x＝，即x＝1时取等号． x(2)由log2a＋log2b≥1得log2(ab)≥1， a＋2b 即ab≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥2×3(当且仅当3a＝32b，即a＝2b时取等号)． 2又∵a＋2b≥22ab≥4(当且仅当a＝2b时取等号)， ∴3a＋9b≥2×32＝18. 即当a＝2b时，3a＋9b有最小值18. (3)由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥22xy，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，即m≤10.故m的最大值为10. 答案：(1)1 (2)18 (3)10 典题导入 [例2] (2012·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐1 标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表 20 示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 1 [自主解答] (1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0， 2020k2020 故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号． 121＋k2k＋k所以炮的最大射程为10千米． 基本不等式的实际应用
