（Ⅱ）由题意设g（x）=x﹣x+lnx﹣b，求得导数，列表表示g（x）和g′（x）的关系，得到极小值和极大值，
又方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．则令g（1）≥0，g（2）＜0，g（4）≥0，解出它们即可．
解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），求导得f′（x）=ax+2﹣=＞0），
2
依题意f′（x）≤0在x＞0时恒成立，即ax+2x﹣1≤0在x＞0恒成立． 因为a＜0，所以二次函数开口向下，对称轴x=﹣＞0， 问题转化为△=4+4a≤0，
所以a≤﹣1，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣1]； （Ⅱ）由题意﹣x+2x﹣lnx=x﹣b，即x﹣x+lnx﹣b=0， 设g（x）=x﹣x+lnx﹣b，则g′（x）=x （0，1） 1 （1，2） 2 （2，4） g′（x） + 0 ﹣ 0 + g（x） ↑ 极大值↓ 极小值 ↑
∴g（x）极大值=g（1）=﹣b﹣，g（x）极小值=g（2）=ln2﹣b﹣2，又g（4）=2ln2﹣b﹣2 又方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．
2
2
2
2
（x
列表：
则，得 ln2﹣2＜b （注意﹣＜﹣1＜2ln2﹣2））．
点评： 本题考查导数的运用：求单调性，求极值，考查函数方程的数学转换，考查运算能力，属于中档题．
