微积分寒假作业
当x?0时，3?1~xln3，ln(1?xf(x)f(x)f(x))~~， sin2xsin2x2x，
ln(1??limx?0f(x)f(x))sin2x?lim2x?limf(x)?5x?0xln3x?02x2ln33x?1x?0?limx?0f(x)?10ln32x，
?f(0)?limf(x)?0。
6、解：（方法：凑微分）
原式=
?1?(?x(23)22x3)xxd(2arctan(213)3)dx?2???C 22xln31?(3)ln2?ln37、解：（方法：凑微分）
原式=
2ln(x?1?x)?5d[ln(x?1?x)?5]?[ln(x?1?x2)?5]2?C
32238、解：（方法：凑微分）
(1?e2x)?2exdexdx=?dx?2??x?arctanex?C 原式=?2x2x1?e1?e9、解：（方法一）
原式=
?ee?xdx?x2e2x?2e?1x???de?x1?(e?x?1)2
??ln(1?e?x?2?2e?x?e?2x)?C
（方法二）
原式=
?eexdxx2e2x?2ex?1dt 令t?e
x??t2t2?2t?1 令u?
1t???du(u?1)?12
??ln(1?u?(u?1)2?1)?C
??ln(1?ex?2e2x?2ex?1)?x?C
10、解：（方法：分部积分，凑微分）
xsinx1x2xdx?dx?xsecdx?tan?1?cosx?1?cosx?2?2dx 2xxxx ?xtan??tandx??tandx?xtan?C
2222 原式=
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微积分寒假作业
11、解：（方法：分部积分）
原式=xesinxdx 2?cosxd(cosx)??xd(esinx)??esinx 2cosx1sinx1sinx?xesinx??esinxdx?e??ecosxdx
cosxcosx1?(x?)esinx?C
cosxsinxcosxdx??esinx12、（方法：分部积分，凑微分）
原式=e??xarctanexdx??e?xarctanex??x1dx 2x1?e(1?e2x)?e2x??earctane??dx 2x1?e?x1d(1?e2x)??earctane?x??
21?e2x?xx1??e?xarctanex?x?ln(1?e2x)?C
213、解：（方法：变量代换，有理函数积分法） 令t?e，则x?6lnt，dx?6t3x66dt， t 原式=
?1?tdt?t2?t???16dt1t?1??6???dt 2??t(t?1)(t2?1)t2(t?1)2(t?1)??3ln(t2?1)?3arctant?C 2xx ?6lnt?3lnt?1?x63?x?3ln(e?1)?ln(e3?1)?3arctane6?C
214、解：（方法：凑微分）
令3cosx?sinx?A(cosx?sinx)?B(cosx?sinx)?
x?sinx?A(coxs?sinx)?B(?sinx?cosx) 则 3cos?(A?B)cosx?(A?B)sinx
得A?1,B?2，
所以 3cosx?sinx?(cosx?sinx)?2(cosx?sinx)?
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微积分寒假作业
(cosx?sinx)?2(cosx?sinx)?dx ?cosx?sinxd(cosx?sinx)??dx?2??x?2lncosx?sinx?C
cosx?sinxacosx?bsinxdx 一般地，?ccosx?dsinx原式=
令acosx?bsinx?A(ccosx?dsinx)?B(ccosx?dsinx)?，即可 15、
?xf?(x)dx??xdf(x)?xf(x)??f(x)dx?x(??sinx?2cosx?C。 xcosxcosx)???Cxx16、令u?xt，当t?0时，u?0；当t?1时，u?x.dt?F(x)??x011x1f(u)du??f(u)du, F?(x)??2xx0x?x01du x1f(u)du?f(x)
x17、令u?x?y，当x?0时，u??y；当x?y时，u?0.dx?du
F(y)??f(x?y)dx??0y0?y?1)?f?( yf(u)du; F?(y)??f(?y)(218、ey??2xcosx?2ycosy?y? ? y??y222xcoxs2e?2ycoysy22
19、
dxdydyyt??f(t2)，?4tf(t2)f?(t2) ? ??4tf?(t2) dtdtdxxt?d2yddydy?dt(y?)?4f?(t2)?8t2f??(t2)t ?()???22dxdxdxdtdxxt?f(t)2220、（1）f?(x)?x?a，f??(x)?2x，令f?(x)?0，得x??a
当a?0时，f??(?a)??2a?0，极大值为
2M?f(?a)??2a??(t2?a2)dt??2a?a3
03?a当a?0时，f??(a)?2a?0，极大值为
a2M?f(a)??2a??(t2?a2)dt??2a?a3
032（2）当a?0时，令M?(a)??2?2a?0，得a?1，M??(1)?4aa?1故a?1时，?4?0，
M为极小值；当a?0时，M?(a)??2?2a2?0，M单调下降，无极值。
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微积分寒假作业
nx1xe1xnex1nn?x0?dx?xdx?21、解法1 0?， ??x?0,1?xx??001?en?11?enx1xe1lim?0 ? limdx?0 n??n?1n???01?ex解法2 由定积分的第一中值定理有
xnexe?lim?dx?limn??01?exn??1?e?12?10e?1xdx?lim?0，??(0,1)
n??1?e?n?1nx222、由于1?1?x?(x?0)，则
2ex1limln(1?t)dt?lim2?ln(1?t)dt
2?cosxx?0x?0x/2cosx1?1?xex122ln(1?ex)?2xex?ln(1?cosx)?(?sinx) ?limx?0x2xex?sinx?ln2lim?3ln2
x?0x23、
222?e1ee1?lnx1?lnx1lnx dx?dx?d2??11lnxlnx(x?lnx)xx2(1?)2(1?)2xxlnx?1?(1?)x24、 令e?xe111 ?(1?)?1?1?ee?1?sint，dx???2xcost??dt，x?0，t?；x?ln2，t? sint26?ln201?e2?/21?sint?costdx??costdt??dt
?/2?/6sintsint?/63?1?cost??/2 ??ln(csct?cott)?cost???ln???/6?/6sint2???/21?3/233?ln1?ln()??ln(2?3)?
1/22225、解法1 令x???t，x?0，t??；x??，t?0
??03330(??t)sint??sinx?xsinxxsin3xdx???dt??dx??dx
?1?cos2t01?cos2x01?cos2x1?cos2x8
