微积分寒假作业
微积分寒假作业
1、 确定常数a,b，使lim(1?x?ax?b)?0
x??332、 设0?x1?3，xn?1?限
xn(3?xn)(n?1,2,?)，证明数列{xn}的极限存在，并求此极
?a(1?cosx)?x2?3、设函数f(x)??1?ln(b?x2)??4、求f(x)?x?0x?0在x?0连续，则a? ，b? 。 x?0(1?x)sinx的间断点，并判断其类型。
x(x?1)(x?1)ln(1?5、设limx?0f(x))sin2x?5，求limf(x),f(0)。
x?0x23x?12x3xdx 6、求不定积分，?xx9?47、求不定积分，
?ln(x?1?x2)?51?x2dx
(1?ex)2dx 8、求不定积分，?2x1?e9、求不定积分，
?dx2e2x?2e?1x
10、求不定积分，
x?sinx?1?cosxdx
11、求不定积分，e?sinxxcos3x?sinxdx 2cosx
arctanexdx 12、求不定积分，?ex13、求不定积分，
?dx1?e?e?ex2x3x6
14、求不定积分，
3cosx?sinx?cosx?sinxdx
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15、已知f(x)的一个原函数为16、求函数的导数，F(x)?17、求函数的导数，F(y)?18、
cosx，求?xf?(x)dx。 x?10y0f(xt)dt f?x?y?dx
??y0edt??t2x20costdt?siny2，求y?
?x?tf(u2)du?d2y?019、设?，其中f(u)具有二阶导数，且f(u)?0，求2
2dx?y??f(t2)????20、设f(x)??2a??x0(t2?a2)dt，求
（1）将f(x)的极大值M用a表示出来；
（2）将（1）的M看作a的函数，求M为极小值时的a值。
xnexdx 21、求极限，lim?n??01?ex122、求极限，limx?011?1?xe12?ex2cosxln(1?t)dt
23、求定积分，
?1?lnxdx
(x?lnx)224、求定积分，
??ln201?e?2xdx
25、求定积分，
?0?xsin3xdx
1?cos2x26、求定积分，
??40?ln(1?tanx)dx
esinxdx
esinx?ecosx27、求定积分，
2028、求定积分，
??42ln(9?x)ln(9?x)?ln(x?3)arcsinxdx 1?xxdx
29、求定积分，
1030、求定积分，
??4??4(sinx?cosx)e2dx
cosx2
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?31、设f(x)在?0,??上二阶连续可微，求32、设f(x)???f(x)?f??(x)?sinxdx
011?a?x0ey(2a?y)dy，求?f(x)dx
0a33、设f(x)在?0,1?上连续，且34、已知
?10f(x)dx?A，求?dx?f(x)f(y)dy
0x?ba(x?c)cos(x?c)dx?0 (b?a)，试求c值
35、设f(x),g(x)在??l,?l?上连续，g(x)为偶函数，且f(x)?f(?x)?C，C为常数，证明：（1）
?l?lx（2）求解??sinxarctanedx f(x)g(x)dx?C?g(x)dx；
?2l?0236、计算广义积分，
?????0xe?xdx
(1?e?x)237、讨论积分
?0xpsinxdx(q?0)的敛散性 q1?x38、设
???1?2x2?bx?a??1?dx?0，求常数 a，b． ?22x?ax???x?acos3t39、求星形线? （a＞0，0≤t≤2π）所围成图形的面积. 3y?asint?40、求由抛物线y?体的体积.
（如有错误，多多见谅！）
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x与直线y?0,y?1和y轴围成的平面图形绕y轴旋转而成的旋转
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参考答案
1、解：原式?limx(3x??1b1b3，即?1?a?)?0lim(?1?a?)?0，
x??xxx3x333故?1?a?0，即a??1，b?lim(1?x?x)?limx??1(1?x)?x1?x?x32332x??3 ?0。
2、证明：本类型的题需证明数列{xn}单调有界，先证明有界性，
?0?x1?3，有x2?x1(3?x1)?设0?xk?3，则0?xk?1213(x1?3?x1)?，且x2?0 2213?xk(3?xk)?(xk?3?xk)?，故数列{xn}有上界且恒
22正，下证{xn}的单调性，可用差值法或比值法， 差值法：xn?1?xn?xn(3?xn)?xn?xn(3?xn)?xn2xn(3?xn)?xn?xn(3?2xn)xn(3?xn)?xn?0，数列
{xn}单增，
x比值法：n?1?xnxn(3?xn)xn?3?1?1，数列{xn}单增， xnn??综上数列{xn}单调递增有上界，必有极限，设limxn?A，?xn?1?xn(3?xn)，则
33,A?0（舍去），故limxn?。
n??22a(1?cosx)a?ln(b?x2)?lnb， ?，f(0?)?lim3、解：f(0)?lim2??x?0x?02xa故?1?lnb，即a?2,b?e。 2A?A(3?A)，解得A?4、解：limx??1(1?x)sinx1?sin1，所以x??1为第一类可去间断点，
x(x?1)(x?1)2limx?1(1?x)sinx??，所以x?1为第二类无穷间断点，
x(x?1)(x?1)(1?x)sinx(1?x)sinx??1,lim?1，所以x?0为第一类跳跃间断点。 ?x?0x(x?1)(x?1)x(x?1)(x?1)x?0lim?ln(1?5、解：当x?0时，3?1?0，而limx?0xf(x))sin2x?5，故f(x)?0，由等价替
sin2x3x?1换定理有
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