（新课标）2015-2016学年高中数学 第二章 数列（二）教学设计 新
人教A版必修5
从容说课
在上节课的内容安排的基础上，本节课安排等差数列与等比数列的综合训练，目标是使学生更熟练地运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题，提高运算速度和运算能力教学重点 熟练运用知识，探索解题思路，优化解题步骤教学难点 解题思路和解题方法的优化
教具准备 多媒体课件，投影胶片，投影仪等
三维目标
一、知识与技能
1.熟练地运用等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式以及有关性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题
2.提高运算速度和运算能力二、过程与方法
1.精选例题，通过对例题的分析与探究，优化解题步骤2.在优化解题步骤的过程中提高运算速度与运算能力三、情感态度与价值观
1.在理解题意、探索思路的过程中学会思考，培养敢于思考、善于思考的思维品质
2.在解决问题的过程中，学会快速地运算、严密地推理、精确地表达，增强速度意识、效率意识
教学过程
导入新课
师 这节课我们要运用等差、等比数列的概念、性质及有关公式，解决一些等差、等比数列的综合问题
首先我们再来明确一下有哪些问题生 (1)对数列概念理解的题目；
(2)等差数列和等比数列中五个基本量a1,an,d(q),n,Sn“知三求二”的问题； (3)数列知识在生产实际和社会生活中的应用
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师 是的，这是我们前一节课中已经归纳出来的应用本章知识要解决的问题.我们前一节课上已经探讨了几个典型例题，本节课我们进一步探讨推进新课
师 出示投影胶片1：例题1：
【例1】 已知公差不为零的等差数列｛a n｝和等比数列｛b n｝中，a 1=b 1=1，a2=b2，
a 8=b3，试问：是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有a n=logab n＋b成立？若
存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由. ［合作探究］
师 这道题涉及到两个数列｛an｝和｛bn｝之间的关系，而已知中的三个等式架起了两个数列间的桥梁，要想研究an，b n的性质，应该先抓住数列中的什么量？
生 由于｛a n｝是等差数列，{b n}是等比数列，所以应该先抓住基本量a1、d和
?1?d?q由已知a1=b1=1，a2=b2,a8=b3，可以列出方程组?2?1?7d?q解出d和q，则an,bn就确定了
师 如果an和bn确定了，那么an=logabn＋b就可以转化成含有a，b，n的方程，如何判断a，
b是否存在呢？
生 如果通过含有n，a，b的方程解出a和b，那么就可以说明a，b存在；如果解不出a和
b，那么解不出的原因也就是a和b不存在的理由
师 分析得很好.让我们一起来实施刚才分析的思路，看看结论到底是什么？ 解：设等差数列｛an｝的公差为d(d≠0)，等比数列｛b n｝的公比为q，则
?1?d?q, ?2?1?7d?q.解得d=5，q=6.所以an=5n-n-1
而bn=6 ，若存在常数a，b，使得对一切自然数n，都有an=logabn＋b成立， 即5n-4=loga6 ＋b即5n-4=(n-1)loga6＋bn-1
*
即(loga6-5)n＋(b-loga6＋4)=0.对任意n∈N 都成立只需
?loga6?5?0成立??b?loga6?4?0
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解得a=6
1,b=1.所以存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有an=logab n＋b成立6
师 本题的关键是抓住基本量：首项a1和公差d、公比q，因为这样就可以求出an和bn的表达式.an和bn确定了，其他的问题就可以迎刃而解
可见：抓住基本量，是解决等差数列和等比数列综合问题的关键师 出示投影胶片2：例题2：
【例2】 某工厂三年的生产计划规定：从第二年起，每一年比上一年增长的产值相同，三年的总产值为300万元，如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分率相同，求原计划中每一年的产值. ［合作探究］
师 对应用问题，同学们要认真分析，把实际问题转化成数学问题，用学过的数学知识求解请学生读题，并逐句分析已知条件
生甲 由每一年比上一年增长的产值相同可以看出，原计划三年的产值成等差数列，由三年的总产值为300万元，可知此等差数列中S 3=300，即如果设原计划三年的产值分别为x-d，x，x＋d,则x-d＋x＋x＋d
生乙 由产值增长的百分率相同可以知道，实际三年的产值成等比数列，可以设为x-d＋10， x＋10，x＋d＋11，则(x＋10)=(x-d＋10)(x＋d＋
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师 甲、乙两位同学所列方程联立起来，即可解出x，d. 板 书： 解：设原计划三年的产值为x-d，x，x＋d，则实际三年产值为x-d＋10，x＋10，x＋d＋ ?x?d?x?x?d?300, ?2?(x?d?10)(x?d?11)?(x?10).解得x=100，d=10，x-d=90,x+d 答：原计划三年的产值分别为90万元、100万元、110万元. 师 等差数列和等比数列的知识，在实际生产和生活中有着广泛的应用，在解决这类应用问题时，关键是把实际问题转化成数列问题，分清是等差数列问题，还是等比数列问题，分清
an和S n，抓住基本量a1，d(q)，再调用有关的概念和公式求解
师 出示投影胶片3：例题3：
【例3】 已知数列{an}是公差不为零的等差数列，数列{a kn}是公比为q的等比数列，且k 1=1，k 2=5，k3=17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋kn的值.
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［合作探究］
师 题目中数列{ak n}与{an}有什么关系？ 生 数列{a k n}的项是从数列{an}中抽出的部分项
师 由已知条件k1=1，k2=5，k3=17可以知道等差数列{an}中的哪些项成等比数列？ 生 a1，a5，a17成等比数列
师 要求的k1＋k2＋k3＋…＋kn的值，实质上求的是什么？ 生 实质上就是求数列{kn}的前n项和
师 要求｛kn｝的前n项和，就要确定数列{kn}的通项公式.应该从哪儿入手？ 生 应该从求等比数列{a k n}的公比入手.其公式为
a5a1
师 a5，a1要由等差数列｛an｝的通项公式来确定，问题就转化成求等差数列中的公差d和
a1了
生 如果设等差数列{an}的公差为d，那么a5=a1＋4d，a17=a1＋16d，由于a1，a5，a17成等比数列，则有(a1＋4d)=a1(a1＋16d)，从而an应该可以求出了师 请同学们把刚才的分析整理出来(投影胶片4)
解：设数列｛an｝的公差为d，d≠0， 则a 5=a 1＋4d，a 17=a1＋16d
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因为a 1，a5，a 17成等比数列，
则 (a 1＋4d)=a 1 (a 1＋16d)，即2d =a1d又d≠0，则a1=2d
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所以an=a 1＋(n-1)d=2d＋(n-1)d=(n＋1)d因为数列{a k n}的公比为q，则q?所以a k n=a k1·3又a k n=(kn+1)dn-1
n-1
n-1
a5(5?1)d??3a1(1?1)d=a1·3=2d·3n-1.
-1(n∈N
*
则2d·3 ＝(kn+1)d由d≠0，知kn=2·3
n-1
n-1
因此，k 1＋k 2＋k 3＋…＋kn0
1
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=2·3 -1＋2·3-1＋2·3-1＋…＋2·3-
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