名思教育圆锥曲线专题训练
一．解答题（共30小题）
1．在平面直角坐标系中，已知动点M（x，y），点A（0，1），B（0，﹣1），D（1，0），点N与点M关于直线y=x对称，且（1）求动点M所在曲线C的轨迹方程； （2）设直线l与曲线C交于G、H两点，且|GH|=
，求直线l的方程；
．直线l是过点D的任意一条直线．
（3）若直线l与曲线C交于G、H两点，与线段AB交于点P（点P不同于点O、A、B），直线GB与直线HA交于点Q，求证：
是定值．
，F是右焦点，A是右顶点，
2．如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=B是椭圆上一点，BF⊥x轴，|BF|=（1）求椭圆C的方程；
．
（2）设直线l：x=ty+λ是椭圆C的一条切线，点M（﹣，y1），点N（，y2）是切线l上两个点，证明：当t、λ变化时，以 M N为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标．
3．已知椭圆C1：x+4y=1的左、右焦点分别为F1、F2，点 P是C1上任意一点，O是坐标原点，
=
+
，设点Q的轨迹为C2．
2
2
（1）求点Q的轨迹C2的方程； （2）若点 T满足：
=
+2
+
，其中 M，N是C2上的点，且直线 O M，O N的斜率之
积等于﹣，是否存在两定点 A，B，使|T A|+|T B|为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由．
4．（2015?嘉定区一模）已知点A（0，﹣2），椭圆E：
（a＞b＞0）的长轴长为4，
F是椭圆的右焦点，直线AF的一个方向向量为（1）求椭圆E的方程；
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，O为坐标原点．
（2）设过点A的动直线l与椭圆E相交于P、Q两点，当△OPQ的面积S最大时，求l的方程． 5．已知椭圆T：
+
=1（a＞b＞0）经过点P（2，
），一个焦点F的坐标是（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆T的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆T交于A、B两点，O为坐标原点，椭圆T的离心率为e，若kOA?kOB=e﹣1． ①求
?
的取值范围；
2
2
②求证：△AOB的面积为定值．
6．如图，已知抛物线C：y=2px（p＞0）上有两个动点A，B，它们的横坐标分别为a，a+2，当a=1时，点A到x轴的距离为（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若A，B在x轴上方，且|OA|=|OM|，直线MA交x轴于N，求证：直线BN的斜率为定值，并求出该定值．
，M是y轴正半轴上的一点．
7．已知椭圆C：．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点F（﹣2，0），T为直线x=﹣3上任意一点，过F作直线l⊥TF交椭圆C于P、Q两点．
①证明：OT经过线段PQ中点（O为坐标原点）；②当
最小时，求点T的坐标．
=1（a＞b＞0）的一个焦点在抛物线y=8x的准线上，且过点
2
8．椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标． 9．已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，F1，F2是其焦点，点P在椭圆上．
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（Ⅰ）若∠F1PF2=90°，且△PF1F2的面积等于1，求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线PF1交椭圆于另一点Q，分别过点P，Q作直线PQ的垂线，交x轴于点M，N，当|MN|取最小值时，求直线PQ的斜率． 10．如图，焦点在x轴的椭圆C：
+
=1（b＞0），点G（2，0），点P在椭圆上，且PG⊥x
轴，连接OP交直线x=4于点M，连接MG交椭圆于A、B． （Ⅰ）若G为椭圆右焦点，求|OM|；
（Ⅱ）记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的取值范围．
11．已知椭圆C：
2
+=1（a＞b＞0）的离心率与双曲线x﹣y=2的离心率互为倒数，且以
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抛物线y=4x的焦点F为右焦点． （I）求椭圆C的标准方程； （II）过右焦点F作斜率为﹣
的直线l交曲线C于M、N两点，且
+
+
=0，又点H关
于原点O的对称点为点G，试问M、G、N、H四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．
12．如图所示，已知过抛物线x=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点． （1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；
（2）设抛物线x=4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程：
（3）设过抛物线x=4y焦点F的直线l与椭圆
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2
+=1的交点为C、D，是否存在直线l
使得|AF|?|CF|=|BF|?|DF|，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
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13．如图，椭圆E：
的左、右两焦点分别为F1，F2，离心率
．设
P（x0，y0）为椭圆上第一象限内的点，△PF1F2的周长为6． （Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若直线l：3x0x+4y0y﹣12=0分别与直线x=±2交于C、D两点． （1）判断直线l与椭圆E交点的个数；
（2）试探究：在坐标平面内是否存在定点，使得以CD为直径的圆恒过该定点？若存在，求出此定点的坐标；若不存在，说明理由．
14．已知椭圆C：x+2y=4． （Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．
15．已知点A（0，﹣2），椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，F是椭圆E的右焦
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点，直线AF的斜率为（Ⅰ）求E的方程；
，O为坐标原点．
（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程． 16．设椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已
知|AB|=
|F1F2|．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|=2 17．已知椭圆C：成正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．
①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
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，求椭圆的方程．
+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构
