第9课 解三角形的应用
【考点导读】
1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角变换的能力．
400 31．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为_________m．
【基础练习】
2．某人朝正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好3km，那么x
23或3 km． 的值为_______________ 3．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶4h后，船到达C
302 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 km．
4．如图，我炮兵阵地位于A处，两观察所分别设于B，D，已知?ABD为边长等于a的正三角形，当目标出现于C时，测得?BDC?45，?CBD?75，求炮击目标的距离AC 解：在?BCD中，由正弦定理得：
C aBC?
sin60?sin45?D
222∴BC?6a 3B
在?ABC中，由余弦定理得：AC?AB?BC?2AB?BC?cos?ABC
∴AC?5?23a 35?23a． 3A 第4题
答：线段AC的长为【范例解析】
例 .如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行北 20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距120 A2
102海里，问乙船每小时航行多少海里？
分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解．
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B2 B1 乙
105 A
1甲
例1（1）
解法一：如图(2)，连结A1B2，由已知A2B2?102，
A1A2?302?20?102，?A1A2?A2B2， 60北 又∠A△A1A2B2是等边三角形， 1A2B2?180?120?60，?120 A
2?A1B2?A1A2?102，
由已知，A1B1?20，∠B1A1B2?105?60?45， 在△A1B2B1中，由余弦定理，
22B1B2?A1B12?A1B2?2A1B1A1B2cos45?202?(102)2?2?20?102?B2 105 B1 乙 例1（2）
A1
甲
2?200． 2?B1B2?102．因此，乙船的速度的大小为答：乙船每小时航行302海里． 解法二：如图（3），连结A2B1， 由已知A1A2?302?1B1?20，A102． ?60?302（海里/小时）北 20120 A
2B2 20?102，∠B1A1A2?105， 60105 B1 A1
甲
乙 例1（3）
cos105?cos(45?60)?cos45cos60?sin45sin60?2(1?3)，
42(1?3)．
4sin105?sin(45?60)?sin45cos60?cos45sin60?在△A2A1B1中，由余弦定理，
2A2B12?A1B12?A1A2?2A1B1A1A2cos105
?(102)2?202?2?102?20?2(1?3)?100(4?23)．
4?A2B1?10(1?3)．
由正弦定理sin∠A1A2B1?A1B120sin∠B1A1A2?A2B110(1?3)2(1?3)2， ?422(1?3)．
4?∠A1A2B1?45，即∠B1A2B1?60?45?15，cos15?sin105?第18页 【精讲精练】共19页
在△B1A2B2中，由已知A2B2?102，由余弦定理，
22B1B2?A2B12?A2B2?2A2B1A2B2cos15?102(1?3)2?(102)2?2?10(1?3)?102?2(1?3)?200．
4?B1B2?102，乙船的速度的大小为答：乙船每小时航行302海里．
102． ?60?302（海里/小时）
20点评：解法二也是构造三角形的一种方法，但计算量大，通过比较二种方法，学生要善于利用条件简化解题过程．
【反馈演练】
1．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45?和30?，而且两条船与炮台底
103 m． 部连线成30?角，则两条船相距____________2．有一长为1km的斜坡，它的倾斜角为20?，现要将倾斜角改为10?，则坡底要伸长____1___km． 3．某船上的人开始看见灯塔在南偏东30?方向，后来船沿南偏东60?方向航行45海里后，看见灯塔在正
153 海里． 西方向，则此时船与灯塔的距离是__________4．把一根长为30cm的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC的两边AB和BC，且?ABC?120?，则
153 cm． 第三条边AC的最小值是____________5．设y?f(t)是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0?t?24.下表是该港口某一天 从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t 0 3 6 9 y
12 15.1 12.1 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1 经长期观察，函数y?f(t)的图象可以近似地看成函数y?k?Asin(?t??)的图象.下面的函数中, 最能近似表示表中数据间对应关系的函数是
（ A ）
A．y?12?3sinC．y?12?3sin?6t,t?[0,24] t,t?[0,24]
B．y?12?3sin(D．y?12?3sin(?6t??),t?[0,24] t??12?12?2),t[0,24]
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