第８课 解三角形
【考点导读】
1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；
2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化． 【基础练习】
4 6.1．在△ABC中，已知BC＝12，A＝60°，B＝45°，则AC＝ ? 32．在?ABC中，若sinA:sinB:sinC?5:7:8，则?B的大小是______________.
10 13．在△ABC中，若tanA?，C?150，BC?1，则AB? ． 23【范例解析】
例1. 在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，已知a?c?20，C?2A，cosA?3． 4c的值；（2）求b的值． a分析：利用C?2A转化为边的关系．
csinCsin2A3??2cosA?． 解：（1）由?asinAsinA2（1）求
?a?c?20,?a?8,?222（2）由?c3得?．由余弦定理a?b?c?2bccosA
?.?c?12.??a2得： b?18b?80?0，解得：b?8或b?10， 若b?8，则A?B，得A?2?4，即cosA?23?矛盾，故b?10． 24点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论．
例2.在三角形ABC中，已知(a?b)sin(A?B)?(a?b)sin(A?B)，试判断该三角形的形状． 解法一：(边化角)由已知得：a[sin(A?B)?sin(A?B)]?b[?sin(A?B)?sin(A?B)]， 化简得2acosAsinB?2bcosBsinA，
由正弦定理得：sinAcosAsinB?sinBcosBsinA，即sinAsinB(sinAcosA?sinBcosB)?0， 又A,B?(0,?)，?sinA?sinB?0，?sin2A?sin2B．
又2A,2B?(0,2?)，?2A?2B或2A???2B，即该三角形为等腰三角形或直角三角形．
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解法二：(角化边)同解法一得：2acosAsinB?2bcosBsinA，
222b2?c2?a22a?c?b?ba由正余弦定理得：ab，
2bc2ac2222整理得：(a2?b2)(c2?a2?b2)?0，即a?b或c?a?b，
22即该三角形为等腰三角形或直角三角形．
点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状． 例3.如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB=AD，记∠CAD=?，∠ABC=?.
A （1）证明：sin??cos2??0； （2）若AC=3DC，求?．
分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系. （1）证明：
β B α ????C，C??2?B，?2???2??，
例4
D C ?sin??cos2??0
（2）解：
AC=3DC，?sin??3sin???3cos2??23sin2??3.
??3??(0,)，?sin??，???.
232点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出?的值.
【反馈演练】
3?3 ． 1．在?ABC中，AB?3,A?450,C?750,则BC =_____________3 4．osB?_____2．?ABC的内角∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c?2a，则c
23．在?ABC中，若2a?b?c，sinA?sinBsinC，则?ABC的形状是____等边___三角形．
15 24．若?ABC的内角A满足sin2A?，则sinA?cosA= 3 ．
345．在?ABC中，已知AC?2，BC?3，cosA??．
5（Ⅰ）求sinB的值； （Ⅱ）求sin?2B?
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?????的值． 6?
3?4?2解：（Ⅰ）在?ABC中，sinA?1?cosA?1?????，由正弦定理，
5?5?BCACAC232?sinA???． ．所以sinB?sinAsinBBC3554（Ⅱ）因为cosA??，所以角A为钝角，从而角B为锐角，于是
5221?2?cosB?1?sin2B?1????，
55??2cos2B?2cos2B?1?2?(21217)?1?， 525221421． sin2B?2sinBcosB?2???55253171127?17????421?． ????sin?2B???sin2Bcos?cos2Bsin?252252506?66?6．在?ABC中，已知内角A??，边BC?23．设内角B?x，周长为y． ?（1）求函数y?f(x)的解析式和定义域；（2）求y的最大值． 解：（1）?ABC的内角和A?B?C??，由A??2?，B?0，C?0得0?B?． ??
应用正弦定理，知AC?BC23sinB?sinx?4sinx，
?sinAsin?因为y?AB?BC?AC，
AB?BC?2??sinC?4sin??x?． sinA???
所以y?4sinx?4sin?2???2????x??23?0?x??，
3?????
???1cosx?sinx?（2）因为y?4?sinx????23 ?2??
?4
???3si?nx???????5????2?3?x???，
?????
所以，当x?????，即x?时，y取得最大值63． ???第15页 【精讲精练】共19页
7．在?ABC中，tanA?13，tanB?． 45（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若?ABC最大边的边长为17，求最小边的边长．
13?解：（Ⅰ）C?π?(A?B)，?tanC??tan(A?B)??45??1．
131??453又0?C?π，?C?π．
43（Ⅱ）C??，?AB边最大，即AB?17．
4又
???tanA?tanB，A，B??0，?，?角A最小，BC边为最小边．
???sinA1??，?tanA??π?由?cosA4且A??0，?，
?2??sin2A?cos2A?1，?得sinA?ABBCsinA17??2． ．由得：BC?ABsinCsinAsinC17所以，最小边BC?2．
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