?2(cos??sin?)?14． 57． 设函数f(x)?sin(2x??) (?????0),y?f(x)图像的一条对称轴是直线x?（Ⅰ）求?；
（Ⅱ）求函数y?f(x)的单调增区间； （Ⅲ）画出函数y?f(x)在区间[0,?]上的图像 ?8．
解：（Ⅰ）?x??8是函数y?f(x)的图像的对称轴，?sin(2?,k?Z. ??????0,???3?. 4?8??)??1,
??4???k???23?3?,因此y?sin(2x?). 44?3???2k??,k?Z. 由题意得2k???2x?2423??5?)的单调增区间为[k??,k??],k?Z. 所以函数y?sin(2x?4883?)知 （Ⅲ）由y?sin(2x?4?3?5? x 0 888（Ⅱ）由（Ⅰ）知???y 7? 80 ? ?2 2?2 2－1 0 1 [0,?]上图像是 故函数y?f(x)在区间321121-2yo?8?43?8?25?83?47?8?x-13-2
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第7课 三角函数的值域与最值
【考点导读】
1.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；
2.求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法． 【基础练习】
1.函数y?sinx?3cosx在区间[0,]上的最小值为 1 ．
23 12.函数f(x)?cosx?cos2x(x?R)的最大值等于 4 ．
23.函数y?tan(??2?x)(??4?x??4(??,?1]?[1,??) ． 且x?0)的值域是___________________
1?cos2x?8sin2x4.当0?x?时，函数f(x)?的最小值为 4 ．
2sin2x?【范例解析】
例1.（1）已知sinx?siny?1，求siny?cos2x的最大值与最小值． 3（2）求函数y?sinx?cosx?sinx?cosx的最大值． 分析：可化为二次函数求最值问题．
12?sinx，siny?[?1,1]，则sinx?[?,1]． 331111112?siny?cos2x?(sinx?)2?，当sinx?时，siny?cos2x有最小值?；当sinx??时，
21223124siny?cos2x有最小值．
9解：（1）由已知得：siny?121t2?1（2）设sinx?cosx?t(?2?t?2)，则sinx?cosx?，则y?t?t?，当t?2时，y222有最大值为
1?2． 2点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围． 例2.求函数y?2?cosx(0?x??)的最小值．
sinx分析：利用函数的有界性求解．
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2解法一：原式可化为ysinx?cosx?2(0?x??)，得1?ysin(x??)?2，即sin(x??)?21?y2，
故21?y2，所以y的最小值为3． ?1，解得y?3或y??3（舍）解法二：y?2?cosx(0?x??)表示的是点A(0,2)与B(?sinx,cosx)连线的斜率，其中点B在左半圆
sinx a2?b2?1(a?0)上，由图像知，当AB与半圆相切时，y最小，此时kAB?3，所以y的最小值为3．点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解． 例3.已知函数f(x)?2sin?2?π??ππ??x??3cos2x，x??，?． ?4??42?（I）求f(x)的最大值和最小值；
（II）若不等式f(x)?m?2在x??，?上恒成立，求实数m的取值范围．
42分析：观察角，单角二次型，降次整理为asinx?bcosx形式． 解：（Ⅰ）∵f(x)??1?cos??ππ??????π???2x???3cos2x?1?sin2x?3cos2x ?2??π???1?2sin?2x??．
3??又∵x??，?，∴≤2x?≤，即2≤1?2sin?2x??≤3，
6333???42??ππ?ππ2π?π?∴f(x)max?3，f(x)min?2．
（Ⅱ）∵f(x)?m?2?f(x)?2?m?f(x)?2，x??，?，
42?ππ???∴m?f(x)max?2且m?f(x)min?2，
∴1?m?4，即m的取值范围是(1，4)．
点评：第（Ⅱ）问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最值问题．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．
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【反馈演练】 1．函数y?2sin(?3?x)?cos(?6?x)(x?R)的最小值等于____－1_______．
cos2x2．当0?x?时，函数f(x)?的最小值是______4 _______．
4cosxsinx?sin2x33 ? sinx3．函数y?的最大值为_______33，最小值为________.
cosx?2?(?1,1) 4．函数y?cosx?tanx的值域为 . 3 ????25．已知函数f(x)?2sin?x(??0)在区间??,?上的最小值是?2，则?的最小值等于_________．
?34?，x?R． 6．已知函数f(x)?2cosx(sinx?cosx)?1（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f(x)在区间?，?上的最小值和最大值．
84解：（Ⅰ）f(x)?2cosx(sinx?cosx)?1?sin2x?cos2x?因此，函数f(x)的最小正周期为π．
?π3π???π??2sin?2x??．
4??（Ⅱ）因为f(x)?π???π3π??3π3π?在区间上为增函数，在区间2sin2x?，，?上为减函数，又?????48884??????π?3π??3ππ?f???2sin?????2cos??1，
4?4??24??π?f???0，?8??3π?f???2，?8??π3π???故函数f(x)在区间?，?上的最大值为2，最小值为?1． 84
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