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角平分线定理使用中的几种辅助线作法
一、已知角平分线，构造三角形
例题:如图所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。 求证：BE?12(AC?AB)
证明：延长BE交AC于点F。
因为角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线， 所以AD为∠BAC的对称轴， 又因为BE⊥AD于F，
所以点B和点F关于AD对称， 所以BE=FE=
12BA12FEDCBF，AB=AF，∠ABF=∠AFB。
因为∠ABF＋∠FBC=∠ABC=3∠C，
∠ABF=∠AFB=∠FBC＋∠C， 所以∠FBC＋∠C＋∠FBC=3∠C， 所以∠FBC=∠C，所以FB=FC， 所以BE=
12FC=
1212（AC－AF）=
12（AC－AB），
所以BE?(AC?AB)。
二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段
如图所示，∠1=∠2，P为BN上的一点，并且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD。 求证：∠BAP＋∠BCP=180°。 证明：经过点P作PE⊥AB于点E。
E因为PE⊥AB，PD⊥BC，∠1=∠2，
APN所以PE=PD。
在Rt△PBE和Rt△PBC中
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?BP?BP ?PE?PD?所以Rt△PBE≌Rt△PBC（HL）， 所以BE=BD。
因为AB＋BC=2BD，BC=CD＋BD，AB=BE－AE， 所以AE=CD。
因为PE⊥AB，PD⊥BC， 所以∠PEB=∠PDB=90°. 在△PAE和Rt△PCD中 ?PE?PD???PEB??PDC ?AE?DC?所以△PAE≌Rt△PCD， 所以∠PCB=∠EAP。 因为∠BAP＋∠EAP=180°， 所以∠BAP＋∠BCP=180°。
三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段
例题、如图所示，在△ABC中，PB、PC分别是∠ABC的外角的平分线，求证：∠1=∠2. 证明：过点P作PE⊥AB于点E，PG⊥AC于点G，PF⊥BC于点F． 因为P在∠EBC的平分线上，PE⊥AB，PH⊥BC， 所以PE=PF。
1A2同理可证PF=PG。 所以PG=PE， 又PE⊥AB，PG⊥AC， 所以PA是∠BAC的平分线， 所以∠1=∠2。
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妙加辅助线解角平分线问题
提到角平分线问题，我们很自然的想到角平分线有关的定理：1、角平分线性质定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；2、角平分线判定定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。那么，你知道怎么运用它们进行解有关的题目吗？下面与同学们谈一谈如何正确添加辅助线解解有关的题目。
一、作垂线段
当题目的已知中出现角平分线的时候，我们立刻想到它的作用有两种：1、把已知角平分两个相等的小角；2、角平分线性质定理，若此时作角的两边的垂线，则两条垂线段相等。
例1 如图，已知：∠A=90o，AD∥BC，P是AB的中点，PD平分∠ADC， 求证：CP平分∠DCB。
分析：因为已知PD平分∠ADC，所以我们过P点作PE⊥CD，
垂足为E，则PA=PE，由P是AB的中点，得PB=PE，即CP平分∠DCB。 证明：作PE⊥CD，垂足为E， ∴∠3=∠A=90o， ∵PD平分∠ADC， ∴PA=PE， 又∵∠B=∠3=90o， ∴PB=PE，
∴点P在∠DCB的平分线上， ∴CP平分∠DCB。
二、利用垂线，构造等腰三角形
例2、如图，已知：ΔABC中AD垂直于∠C的平分线于D，DE∥BC交AB于E. 求证：EA=EB。
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A D
2 1
4 P E
3
B C
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分析：由AD垂直于∠C的平分线于D，可以想到等腰三角形 中的三线合一，于是延长AD交BC与点F，得D是AF的 中点，又因为DE∥BC，由三角形中位线定理得EA=EB。 证明：延长AD交BC与点F， ∵CD平分∠ACF， ∴∠1=∠2，又AD⊥CD， ∴ΔADC≌ΔFDC， ∴AD=FD， 又∵DE∥BC， ∴EA=EB。
B F E A D 1 2 C
与角平分线相关的作图题举例
1、如图1所示，校园内有两条公路OA、OB，在交叉路口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置距离两块宣传牌一样远，并且到两条公路的距离也一样远。请你画出灯柱的位置P。
DAA
CPCBD
O图1 O图2 B分析：线与线相交成点，所以要想作出满足条件的点，就相当于作出相应的两条直线，它们的交点就是所求作的点。
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