四、解答题（本题共 13 分，第 25 题 4 分，第 26 题 5 分，第 27 题 4 分）
25．解：原式＝ (x2 ? 2xy ? y2 ? x2 ? y2 ) ? 2x ------------------------------------------- 1 分
＝ (2x2 ? 2xy) ? 2x ------------------------------------------------- 2 分 ＝ x ? y . -------------------------------------------------------------- 3 分 当 x ? y ? 3 时，
原式＝ x ? y ＝3. -------------------------------------------------- 4 分
26.
解：设普通快车的平均行驶速度为 x 千米/时,则高铁列车的平均行驶速度为 1.5x 千米/时． -- 1 分
根据题意得
180 180 1
? ? ． --------------------------- 3 分 x 1.5x 3
解得 x ? 180 ． -------------------------------- 4 分
经检验， x ? 180 是所列分式方程的解，且符合题意． ∴1.5x ?1.5?180 ? 270 ．
答：高铁列车的平均行驶速度为 270 千米/时．----------------------- 5 分
27.
解：（1）（注：不写结论不扣分）
A
D
B C
E M
-------------------------------1 分
（2）BD＝DE ------------------------------------------------------------------ 2 分 证明：∵BD 平分∠ABC，
∴∠1＝ ∠ABC．
2 1
A
∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠4． ∴∠1＝ ∠4．
2 1
D
2
1
4
3
∵CE＝CD， ∴∠2＝∠3．
∵∠4＝∠2＋∠3， ∴∠3＝ ∠4．
2 1
B C
E M
∴∠1＝∠3． ∴BD＝DE． ----------------------------------------- 4 分
五、解答题（本题共 11 分，第 28 题 5 分，第 29 题 6 分） 28．（1）24； --------------------------------------------------------------------------------------------- 1 分
（2） k 2 ?1；--------------------------------------------- 2 分
证明：设十字星中心的数为 x，则十字星左右两数分别为 x ?1，x ?1，上下两数分别为 x ? k ，x ? k （ ．k ≥3）
十字差为(x ?1)(x ?1) ? (x ? k)(x ? k) -----------------------------------3 分
＝ (x2 ?1) ? (x2 ? k2 )
＝ x2 ?1? x2 ? k2
＝ k 2 ?1 ． ---------------------------------- 4 分 ∴这个定值为k 2 ?1 ．
（3）976． ------------------------------------------------ 5 分 29．（1）解：如图,作∠AB D′＝∠ABD， B D′＝BD，连接 CD′，AD′．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝45°． ∵∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝15°．
∵AB＝AB，∠AB D′＝∠ABD， B D′＝BD， ∴△ABD≌△ABD′． ∴∠ABD＝∠ABD′＝15°，∠ADB＝∠AD′B． ∴∠D′BC＝∠ABD′＋∠ABC＝60°． ∵BD＝BD′，BD＝BC， ∴BD′＝BC．
∴△D′BC 是等边三角形． ---------------------------------- 1 分 ∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°． ∵ AB ? AC AD? ? AD?， ∴△AD′B≌△AD′C． ∴∠AD′B＝∠AD′C． ∴∠ AD′B＝ ∠BD′C＝30°．
2 1
∴∠ADB＝30°． ------------------------------------------- 2 分
（2）解：第一种情况：当60?＜? ≤120? 时
如图,作∠AB D′＝∠ABD， B D′＝BD，连接 CD′，AD′． ∵AB＝AC，
D'
∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°， ∴α＋2∠ABC＝180°．
A 180?? ? ?
∴∠ABC＝ ? 90? ? ．
2 2
2
B D ? ∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝ 90? ? ? ? ．
C 同（1）可证△ABD≌△ABD′．
?
∴∠ABD＝∠ABD′＝ 90? ? ? ? ，BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B．
2
? ?
∴∠D′BC＝∠ABD′＋∠ABC＝ 90? ? ? ? ? 90? ? ? 180? ? (? ? ? ) ．
2 2
∵ ? ? ? ? 120? ，
∴∠D′BC＝60°．
以下同（1）可求得∠ADB＝30°． ------------------------------ 3 分 第二种情况：当0?＜?＜60? 时，
如图,作∠AB D′＝∠ABD， B D′＝BD，连接 CD′，AD′． ∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°， ∴α＋2∠ABC＝180°．
180?? ? ?
∴∠ABC＝ ? 90? ? ．
2 2
2
? ∴∠ABD＝∠DBC－∠ABC＝ ? ?（90? ? ）．
同（1）可证△ABD≌△ABD′．
?
∴∠ABD＝∠ABD′＝ ? ?（90? ? ），BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B．
2
? ? ∴∠D′BC＝∠ABC－∠ABD′＝ 90? ? ?[? ? (90? ? )]=180? ? (? ? ? ) ．
2 2
∵ ? ? ? ? 120? ， ∴∠D′BC＝60°．
∵BD＝BD′，BD＝BC， ∴BD′＝BC．
∴△ D′BC 是等边三角形． ∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°． 同（1）可证△AD′B≌△AD′C．
∴∠AD′B＝∠AD′C．
∵∠AD′B＋∠AD′C＋∠BD′C＝360°， ∴2∠ AD′B＋60°＝360°． ∴∠ AD′B＝150°． ∴∠ADB＝150°． --------------------------------- 4 分
（3） 0?＜?＜180? ， ? ? 60? 或120?＜?＜180? ， ? ? ? ? 120? ． ---------------------- 6 分
（注：本卷中许多问题解法不唯一，请老师根据评分标准酌情给分）
