浅谈如何加强数学概念的教学
太和县电大工作站 赵登祥
中学数学教学大纲明确指出：“要使学生掌握基础知识和基本技能，首先要使学生正确理解数学概念”。 “正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提”。学生只有正确理解概念，掌握概念，才能在推理、判断中得出正确结论。如果没有学好数学概念，那么对数学公式、定理和方法就不可能理解。可以说，数学概念是数学基础知识的基础，是掌握数学知识的重要依据，数学概念教学的好坏直接影响教学效果。因此，加强数学概念教学，是提高数学教学质量的有效手段。既可以使学生加深对数学理论知识的理解，又可以培养学生逻辑思维能力，它是提高中学数学教学质量的“治本”方针。要使学生正确地掌握数学的基础知识，并在实际中应用这些知识，就要使学生形成正确的数学概念。如何加强数学概念教学，促进学生素质的提高，一般说来，并无固定不变的教学模式。下面结合自己多年的教学实践，浅谈一下如何加强数学概念的教学问题。
一、数学概念教学概述
数学概念教学是数学教学的重点，它贯穿于数学教学的全过程。加强数学概念教学，使学生透彻地、牢固地掌握数学概念，是提高数学教学质量的关键。抓住这一关键问题进行教学，就能全面地提高数学教学质量。这就要求教师首先对数学概念教学的重要性有所认识，还要看到加强数学基础知识教学与培养运用数学知识解决实际问题的能力，以及发展学生逻辑思维能力和空间想象能力有密切关系，在思想上予以高度的重视。只有这样，才能在进行教学时，做到目的明确，方向正确，既不会造成为概念而概念的现象，也不会顾此失彼。
在进行数学概念教学时，要坚持具体与抽象相给合及理论联系实际的原则等。在教学中注意从生活、生产和其他学科的实际问题出发，进行科学的抽象和必要的逻辑推理，得出数学的概念和规律，从而使概念教学、能力的培养等各个方面的工作，密切结合起来，相互促进，相互推动。还要注意人的认识规律，不能直接把概念端给学生，而应象剥笋皮那样，循序渐进，由浅入深。
值得指出的是，同一个数学概念，由于教学层次及认知结构水平的不同，存在着不同水平的理解。例如“函数”概念，初中学生只能作“对于给定区间上的每一个x值都有唯一的一个y值与之对应，则y就是x的函数”之类的直观理解，而高中学生就可以用集合的语言，从映射的观点出发来理解，大学生则可以用“关系语言”来理解它。
数学概念通常包括四个方面：概念的名称、定义、例子和属性。以概念“圆”为例：词“圆”是概念的名称；“到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆”是概念的定
义；符合定义特征的具体图形都是“圆”的例子；“圆”的属性有：是平面图形、封闭的、存在一个圆心、圆心到圆上各点的距离为定长（半径），等等。
二、注重概念的引入，明确概念
任何一个概念的产生都有它的实际过程，在概念的形成过程中，认识它的必要性和合理性，可以达到理解概念训练思维的目的。如何引入一个新概念，没有一个固定的程序可言，从教学实践看，我认为它应遵循以下基本原则。
1、 自然引入
新概念是为了解决数学中某个矛盾，某种问题或某种需要才引入的。因此，引入新概念时，必须向学生讲清引入的目的、原因，要使学生感到是一件很自然，必须做的事情。利用学生在日常生活中熟悉的具体事例，自然的引入。比如：直线、射线、线段、三角形、圆等概念，对算术平方根的教学等等，我们就可以采用自然引入的方法。
2、直接引入
有些数学概念的教学过程以前已有部分被揭示了，就没必要再经感性认识阶段，而可直接从已有的数学概念中加以定义。例如，在给出了“棱柱”的概念后，当底面为平行四边形时就成了平行六面体等，这样反而容易理解和对比记忆。另外，有些概念是由于数学内在发展需要而直接引入的。如在实数范围内方程x2 +1=0没有解，为了使它有解，就引入一个新数i，i满足x2 =-1，它和实数在一起可以按四则运算法则进行运算，由此引入复数的概念，于是方程x2 +1=0就有解了。
3、 事例引入
从学生所熟悉的生活的具体事例，通过学生的观察、分析、抽象、归纳形成新概念。概念的形成过程要具体、生动、形象、真实；一般不要从抽象到抽象，直接从概念引出新概念，从而使学生失去对概念的亲切自然感。
比如“数轴”的引入，可以借助于温度计。在温度计上有刻度，刻度上标有读数，根据温度计液面的不同位置就可以读出不同的读数。这是生活中使用温度计的方法。然后引导学生观察发现温度计的一些特点：0度以上有20个刻度，为正数，表示20度，0度以下有5个刻度，为负数，表示-5度。如果我们把温度计看作一条直线，这条直线就叫数轴。如果仅仅从定义入手，而不是从人们生活的客观需要形成概念，那么学生对数轴的概念就会感到难以理解和接受。
4、结合数学史，寻求根源，导出概念
几乎每一个数学概念的引入都伴随着一个动人的故事。了解一个概念的发生发展过程，有利于学生对某一概念产生浓厚的兴趣，并比较容易接受和理解，同时通过数学史教学也是对学生进行思想教育的极好教材。讲授新课时，结合课题内容适当引入一些数学史、数学家的故事，或者讲一些生动的数学典故，往往能激发学生的学习兴趣。
如讲解析几何时可向学生介绍笛卡尔；讲二项式定理时，可向学生介绍杨辉三角。再例如在讲授“无理数的概念”时，可讲一讲
的产生及其发现者希伯特为捍卫真
理而奋斗的品德。在讲“圆”时，可以讲述我国古代数学家刘徽、祖冲之为圆周率π所作的贡献，树立学生热爱祖国，造福民族的雄心。
5、给出模型，感性引入概念
由于形成准确概念的先决条件是使学生获得十分丰富和符合实际的感性材料，通过对感性材料的抽象、概括，来揭示概念所反映的本质属性。因此在教学中，要密切联系数学概念在现实世界中的实际模型，通过对实例、实物、模型的观察，对图形的大小关系、位置关系、数学关系的比较分析，在具体充分感性认识的基础上引入概念。如高中数学中的集合、映射、一一对应、函数、等差数列、等比数列、柱体、锥体等，都是从实例中归纳总结出来的。再如，观察函数的图形可以得出函数的单调性、增减性、奇偶性、周期性等定义。再比如讲异面直线概念时，先让学生观察教室或生活中的各种实例，再看异面直线的模型，抽出其本质特征，概括出异面直线的定义，并画出直观图。即沿着实例、模型、图形直至想象的顺序抽象形成正确的概念。观察空间的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系可以得出异面直线，直线与平面平行、相交、垂直，平面与平面平行、相交和垂直的概念等。
6、在旧概念的基础上引入新概念。
如在等式的基础上引入方程；在一元一次方程基础上引入一元一次不等式；在平行四边形的基础上引入矩形、菱形、正方形等等。再比如学习“对数函数”的概念时，先复习“指数函数和反函数”的概念，然后利用它们的联系来讲对数函数的概念，这就符合认识规律，因为知识本身就是积累和发展的结果，只有反映了这个规律性，才能收到更好的效果。
再如在学习无理数概念时，先复习有理数的概念，并说明有理数均可表示为有限小数或循环小数的形式，而π＝3.415926??等都是无限不循环小数，叫做无理数，从而引入了无理数概念。在教学中采用这种以旧引新的方法有利于调动学生学习的积极性，并能复习和运用旧概念，揭示新旧概念的内在联系和区别，把握住知识的系统性，有利于旧概念的巩固和对新概念的理解及记忆，起到“温故而知新”的作用。
三、分析概念含义，了解其本质
数学概念大多数是通过描述定义给出它的确切含义，对于这类概念要抓住它的本质属性，必须运用比较、分析、综合、抽象、概括等思维方式，对定义的基本点“再加工”，重新提炼，排除其非本质属性，使学生对概念有全面、深刻的理解，从而正确运用概念。例如：在互补角概念教学中，应启发学生归纳其本质属性：（1）必须具备两个角之和
为 180°，一个角为180°或三个角之和为180°都不是互补角，互补角只就两个角而言。（2）互补的两个角只是数量上的关系，与两个角的位置无关。再如：同类项教学，其本质属性是：（1）所含字母相同。（2）相同字母的指数也相同。二者并举，缺一不可。这与单项式的系数没有关系。
但也有些概念是直接用数学符号来表示的，这是数学的特点，也是数学的优点，这些概念比较抽象。正确掌握表示概念的符号，是正确运用概念的关键和突破口。如：直线a⊥b，直线l1∥l2，若单纯写上“⊥”、“∥”符号，就什么也不表示。又如：一元一次方程aX+b=0 （a≠0） a是系数，b是常数，√a·√b =√ab （a≥0，b≥0）等等。这些数字语言不但要弄清含义，而且也要讲清成立的条件。
四、掌握概念的内涵及外延
任何一个概念都有它的内涵(本质属性的总和)和外延(概念所包含一切对象的范围)，外延的大小与内涵成反比关系。内涵越多，外延就越小；内涵越少，外延就越大。把握概念的内涵和外延，能大大增加学生对概念的明晰度，提高鉴别能力，避免张冠李戴。在概念的教学上，概念的内涵和外延是同等重要的，是对概念的质和量上的两个侧面的认识，是构成数学概念的两个重要方面。为此，把所教概念同类似的相关的概念相比较，分清它们的异同点及联系，也就显得十分重要。
1、 揭示概念的内涵。
概念的内涵就是概念所反映的对象的共同本质的总和。学生每接触一个新的概念，往往会疏忽了某一些本质，从而导致不能很好地掌握这个新概念。教师在教学中，除讲清这个概念的所有本质属性外，宜通过实际例子，尤其是典型例子，强化学生对新概念的认识。把握住了概念的外延也不等于就掌握了它的内涵。一般情况而言，理解概念的内涵比把握其外延更为重要，因为内涵是概念所反映的思维对象的本质属性，而外延是概念所反映的思维对象的范围。
例如，在讲授对顶角的概念时，学生容易记住定义来找出对顶角，但忽略了这个概念的前提条件所隐含的内涵：必须有两条直线相交才构成对顶角。所以，教学可以适时地多画几个有二条以上直线相交的图形让学生找对顶角，强化学生对概念的理解。再比如“两组对边分别平行”是平行四边形的一个内涵，但远不是平行四边形内涵的全部，其它象“对角线互相平分”、“对角相等”、“两组对边分别相等”、“相邻两个内角互补”、“对角线将平行四边形分割为两个全等三角形”等等都是平行四边形的内涵。
2、 指出概念的外延。
概念的外延是概念所反映的对象的总和。学生每接受一个新的概念，教师都应该指出满足这个概念的对象的存在，使学生明确客观事实存在的反映，从而逐步树立唯物主义的观点。在教学上不能只讲概念的内涵而不讲外延；当然也不允许只讲概念的外延而
