i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得
???a?xi?yj，称(x，y)为向量a的坐标，记作：a??x，y?，即为向量的坐标
?????表示。
设a?x1，y1，b?x2，y2
则a?b?x1，y1?y1，y2?x1?y1，x2?y2 ?a??x1，y1??x1，?y1 若Ax1，y1，Bx2，y2
??????????????????????? 则AB??x2?x1，y2?y1? ? |AB|???x2?x1?2??y2?y1?2，A、B两点间距离公式
????? 57. 平面向量的数量积
（1）a·b?|a|·|b|cos?叫做向量a与b的数量积（或内积）。 ?为向量a与b的夹角，??0，?
B ????? b O ? ?a
D A 数量积的几何意义：
a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos?的乘积。 （2）数量积的运算法则 ①a·b?b·a
②(a?b)c?a·c?b·c
???????????????? ③a·b?x1，y1·x2，y2?x1x2?y1y2
注意：数量积不满足结合律(a·b)·c?a·(b·c) （3）重要性质：设a?x1，y1，b?x2，y2 ①a⊥b?a·b?0?x1·x2?y1·y2?0 ②a∥b?a·b?|a|·|b|或a·b??|a|·|b| ?a??b（b?0，?惟一确定） ?x1y2?x2y1?0
③a?|a|?x?y，|a·b|?|a|·|b|
??2?22121??????????????????????????????????????? ④cos??［练习］
a·b??|a|·|b|??x1x2?y1y2x?y·x?y21212222
?????? （1）已知正方形ABCD，边长为1，AB?a，BC?b，AC?c，则
|a?b?c|? 答案：22
???
（2）若向量a?x，1，b?4，x，当x? 答案：2
??????时a与b共线且方向相同
???? （3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a?3b|? 答案：13 58. 线段的定比分点
??o
设P1x1，y1，P2x2，y2，分点Px，y，设P1、P2是直线l上两点，P点在
????????l上且不同于P1、P2，若存在一实数?，使P1P??PP2，则?叫做P分有向线段 ?P1P2所成的比（??0，P在线段P1P2内，??0，P在P1P2外），且
x1??x2x1?x2??x?x?????1??2，P为P1P2中点时，? ?
?y?y1??y2?y?y1?y2??1??2?? 如：?ABC，Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3 则?ABC重心G的坐标是???????y?y2?y3??x1?x2?x3，1?
??33 ※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？
59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线∥线???线∥面???面∥面 ????线⊥线???线⊥面???面⊥面????
判定性质线∥线???线⊥面???面∥面 线面平行的判定：
a∥b，b?面?，a???a∥面?
a b ?? 线面平行的性质：
?∥面?，??面?，????b?a∥b 三垂线定理（及逆定理）：
PA⊥面?，AO为PO在?内射影，a?面?，则 a⊥OA?a⊥PO；a⊥PO?a⊥AO
线面垂直：
P ??O a
a⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥?
a O α b c
面面垂直：
a⊥面?，a?面???⊥?
面?⊥面?，????l，a??，a⊥l?a⊥?
α a l β a⊥面?，b⊥面??a∥b 面?⊥a，面?⊥a??∥?
a b ??
60. 三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90° ?＝0时，b∥?或b??
o
（3）二面角：二面角??l??的平面角?，0???180
oo
