把展开式
n?1x2x3x4nx ln1(?x)?x???? ? ? ? ?(?1)? ? ? ? (?1?x?1) 234n?1中的x换成?x ? 得
x2x3x4 ln(1?x)??x???? ? ? ? (1?x?1)?
234两式相减? 得到不含有偶次幂的展开式? ln1?x11?ln1(?x)?ln1(?x)?2(x?x3?x5? ? ? ? ) (?1?x?1)? 1?x3533令1?x?2? 解出x?1? 以x?1代入最后一个展开式? 得
1?x ln2?2(??13111111????? ? ? ? )? 333535737如果取前四项作为ln2的近似值? 则误差为 |r4|?2(? ?111111????13? ? ? ? ) 911931131332112[1??()? ? ? ? ]
99311 ?2111???. 11970000031?14?3913111111????)? 333535737于是取 ln2?2(??同样地? 考虑到舍入误差? 计算时应取五位小数?
1111111? ?3?0.01235? ?5?0.00082? ?7?0.00007? ?0.333333335373因此得 ln 2?0?6931? 例3 利用sinx?x?解 首先把角度化成弧度? 9??从而
13
x求sin9?的近似值? 并估计误差? 3!?180?9(弧度)??3?20(弧度)?
1?sin??20203!20??? ?
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其次? 估计这个近似值的精确度? 在sin x 的幂级数展开式中令x??? 得
201??1???1?????? sin????????? ? ? ? ? 20203!?20?5!?20?7!?20???357等式右端是一个收敛的交错级数? 且各项的绝对值单调减少? 取它的前两项之和作为sin?的近似值? 起误差为
1??11 |r2|??? ?(0.2)5????5!?20?120300000????0.003876 因此取 ?0.157080? ??20?20?520?3于是得 sin9??0?15643? 这时误差不超过10?5?
例4 计算定积分
x
2??120e?xdx 的近似值? 要求误差不超过0?0001（取
2
2
1??0.56419）?
解 将e的幂级数展开式中的x换成?x? 得到被积函数的幂级数展开式 e?x2?1??(?x2)1!?(?x2)22!?(?x2)33!? ? ? ?
??(?1)nn?0x2n (???x???). n!于是? 根据幂级数在收敛区间内逐项可积? 得
2?1??122e?xdx0?2???1?2[(?1)n0n?0x2n2]dx?n!?(?1)n22n?n!?0xdx n?0?1 ?(1?111??? ? ? ? ). 2462?32?5?2!2?7?3!前四项的和作为近似值? 其误差为
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|r4|?所以
21111??
?2?9?4!900008??20e?x2dx?1?(1?12?32??42??52!16)?0.52? 0 5?2?73!1 例5 计算积分
?01sinxxdx
的近似值? 要求误差不超过0?0001? 解 由于limsinx?1? 因此所给积分不是反常积分? 如果定义被积函数在x?0处的值为1?
x?0x则它在积分区间[0? 1]上连续. 展开被积函数? 有
sinxx2x4x6 ?1???? ? ? ? (???x???)?
x3!5!7!在区间[0? 1]上逐项积分? 得
?01sinx111dx?1???? ? ? ? ? x3?3!5?5!7?7!因为第四项
11? ?7?7!30000所以取前三项的和作为积分的近似值?
?01sinxxdx?1?11??0.9461? 3?3!5?5! 二、欧拉公式
复数项级数? 设有复数项级数 (u1?iv1)?(u2?iv2)? ? ? ??(un?ivn)? ? ? ?
其中un ? vn (n?1? 2? 3? ? ? ?)为实常数或实函数? 如果实部所成的级数 u1?u2 ? ? ? ? ?un? ? ? ? 收敛于和u? 并且虚部所成的级数? v1?v2? ? ? ? ?vn? ? ? ?
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收敛于和v? 就说复数项级数收敛且和为u?iv?
绝对收敛?
22 如果级?(un?ivn)的各项的模所构成的级数?un收敛? ?vnn?1n?1??则称级数?(un?ivn)绝对收敛?
n?1? 复变量指数函数? 考察复数项级数 1?z?121z? ? ? ? ?zn? ? ? ? ? 2!n!x
可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的? 在x轴上它表示指数函数e? 在复平面上我们用它来定义复变量指数函数? 记为ez ? 即 ez?1?z?121z? ? ? ? ?zn? ? ? ? ? 2!n! 欧拉公式? 当x?0时? z?iy ? 于是 eiy?1?iy? ?1?iy? ?(1?11(iy)2? ? ? ? ?(iy)n? ? ? ? 2!n!12111y?iy3?y4?iy5? ? ? ? 2!3!4!5!121411y?y? ? ? ? )?i(y?y3?y5? ? ? ? ) 2!4!3!5! ?cos y?isin y? 把y定成x得
e?cos x?i sin x? 这就是欧拉公式?
复数的指数形式? 复数z可以表示为 z?r(cos? ?isin?)?rei? ? 其中r?|z|是z的模? ? ?arg z是z的辐角? 三角函数与复变量指数函数之间的联系? 因为e?cos x?i sin x? e?cos x?i sin x? 所以
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