bln?xn?1l??lf(x)sinldx(n?1? 2? ? ? ?)?
当f(x)为奇函数时? ?f(x)??binn?xns? n?1l
其中b2l?ln?0f(x)sinn?xldx(n ? 1? 2? ? ? ?)?
当f(x)为偶函数时? f(x)?a0?2??an?xncos? n?1l其中a2n??ln?xl0f(x)cosldx (n ? 0? 1? 2? ? ? ?)? 例1 设f(x)是周期为4的周期函数? 它在[?2? 2)上的表达式为 f(x)???0 ?2?x?0(常数k?0)??k 0?x?2
将f(x)展开成傅里叶级数? 解 这里l?2? a12?20kcosn?x2dx?[kn?sinn?xn?2]20?0(n?0)? a?102?0?20dx?12?20kdx?k? 2?2k b1n?2?0ksinn?x2dx?[?kn?cosn?x2]2k? 0?n?(1?cosn?)??n???0 于是
f(x)?k2?2k?(sin?x2?13sin3?x2?15sin5?x2? ? ? ?) (???x???? x?0? ?2? ?4? ? ? ?? 在x?0? ?2? ?4? ? ? ? 收敛于
k2)? ? px 0?l 例2 将函数M(x)??x??22展开成正弦级数? ?p(l?x)?2 l2?x?l第 41 页 共 42 页
n?1, 3, 5, ? ? ? n?2, 4, 6, ? ? ? 解 对M(x)进行奇延拓? 则 an?0(n?0? 1? 2? 3? ? ? ?)? bn?2lllp(l?x)n?x22pxn?xn?xM(x)sindx?[sindx?sindx]? l?0??0ll2l2l2l对上式右边的第二项? 令t?l?x? 则
l0ptn?(l?t)22pxn?x bn?[?sindx??lsin(?dt)]
l02l2l2ll22pxn?xn?tn?12pt ?[?sindx?(?1)?sindt]?
02l02ll当n?2? 4? 6? ? ? ?时? bn?0? 当n?1? 3? 5? ? ? ?时? bn?于是得 M(x)?
2pl4p2l?l202pln?xn?? xsindx?22sinl2n??2(sin?xl?13?x15?xsin?2sin? ? ? ? )(0?x?l)? 2ll35第 42 页 共 42 页
