全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题
第7讲 抛物线
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1
1．(优质试题·合肥质量检测)抛物线x2＝2y的焦点坐标为 ( ) ?1?A.?2，0? ??
1???1?
0，?? B. C.?8，0? 2? ???
1?1?
解析 抛物线x2＝2y的焦点坐标是?0，8?.
??答案 D
2．(优质试题·西宁复习检测)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为 ( ) A．2
B．1
1 C.2
1D.4
1??0，? D. 8???
解析 曲线的标准方程为(x－2)2＋y2＝9，其表示圆心为(2，0)，半径为3的p
圆，又抛物线的准线方程为x＝－2，
p
∴由抛物线的准线与圆相切得2＋2＝3，解得p＝2，故选A. 答案 A
3．点M(5，3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是 ( ) A．y＝12x2
B．y＝12x2或y＝－36x2 11
D．y＝12x2或y＝－36x2
C．y＝－36x2
11
解析 分两类a>0，a<0可得y＝12x2，y＝－36x2. 答案 D
第1页
x2y2
4．(优质试题·潍坊一模)已知抛物线y＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线4－5＝1
2
的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝2|AF|，则A点的横坐标为 ( ) A．22
B．3
C．23
D．4
p?p?
解析 抛物线的焦点为?2，0?，准线为x＝－2.双曲线的右焦点为(3，0)，所
??
p
以＝3，即p＝6，即y2＝12x.过A做准线的垂线，垂足为M，则|AK|＝ 22|AF|＝2|AM|，即|KM|＝|AM|，设A(x，y)，则y＝x＋3，代入y2＝12x， 解得x＝3. 答案 B
5．(优质试题·新课标全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为 ( ) 33A.
4
93639
C. D. 8324
3?3?
解析 易知抛物线中p＝2，焦点F?4，0?，
??3
法一 直线AB的斜率k＝3，
3?3?
故直线AB的方程为y＝3?x－4?，
??
219
代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－2x＋16＝0.
21
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2.
213
由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2＋2＝12，
322p
法二 由抛物线焦点弦的性质可得|AB|＝2＝2＝12，
sinθsin30°p3
结合图象可得O到直线AB的距离d＝2sin 30°＝8，
19
所以△OAB的面积S＝2|AB|·d＝4.
B.
第2页
答案 D 二、填空题
6．(优质试题·北京海淀区模拟)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2
＝1的左顶点，则p＝________．
p
解析 由题意知抛物线的准线为x＝－2，双曲线x2－y2＝1的左顶点为(－1，p
0)，所以－2＝－1，p＝2. 答案 2
7．(优质试题·银川质量检测)已知一条过点P(2，1)的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为________．
2
解析 依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y21＝2x1，y2＝2x2，两式相减
得
y1－y2222
y1－y2＝2(x1－x2)，即＝＝1，直线
x1－x2y1＋y2
AB的斜率为1，直线AB的
方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0. 答案 x－y－1＝0
8．(优质试题·沈阳质量监测)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，△ABC的顶111→→→点都在抛物线上，且满足FA＋FB＋FC＝0，则k＋k＋k＝________．
ABBCCA
pp?p?????
，0x－，yx－?????解析 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F2，则121＋22，y2???????
p??
＋?x3－2，y3?＝(0，0)， ??故y1＋y2＋y3＝0.
122
（y2－y1）y2＋y11x2－x12p1y3＋y21y3＋y1
因为k＝＝＝2p，同理可知k＝2p，k＝2p，y2－y1ABy2－y1BCCA
2（y1＋y2＋y3）
所以原式＝＝0.
2p答案 0 三、解答题
9. 如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程．
第3页
1
解 设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，则直线OB的方程为y＝－kx， ?y＝kx，2p由?2得x＝0或x＝k2. ?y＝2px，
?2p2p?∴A点坐标为?k2，k?，同理得B点坐标为(2pk2，－2pk)，
??
2
?2k＋1?4p
k4＝1， ① 由|OA|＝1，|OB|＝8，可得?
222??4pk（k＋1）＝64， ②
②÷①解方程组得k6＝64，即k2＝4.
164
则p2＝22＝5. k（k＋1）
2545
又p>0，则p＝5，故所求抛物线方程为y2＝5x.
y2
10．(优质试题·陕西卷)如图，曲线C由上半椭圆C1：a2x2
＋b2＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中3
C1的离心率为2. (1)求a，b的值；
(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．
解 (1)在C1，C2的方程中，令y＝0，可得b＝1，且A(－1，0)，B(1，0)是上半椭圆C1的左、右顶点．
c3
设C1的半焦距为c，由a＝2及a2－c2＝b2＝1得a＝2. ∴a＝2，b＝1.
y22
(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为4＋x＝1(y≥0)． 易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为 y＝k(x－1)(k≠0)， 代入C1的方程，整理得 (k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*) 设点P的坐标为(xP，yP)，
第4页
∵直线l过点B，∴x＝1是方程(*)的一个根． k2－4－8k
由求根公式，得xP＝2，从而yP＝2，
k＋4k＋4
2
?k－4－8k?
，2?. ∴点P的坐标为?2k＋4k＋4??
?y＝k（x－1）（k≠0），
同理，由? 2
y＝－x＋1（y≤0）?得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)． 2k→→∴AP＝2(k，－4)，AQ＝－k(1，k＋2)．
k＋4∵AP⊥AQ，∴AP·AQ＝0， －2k2即2[k－4(k＋2)]＝0， k＋4
8
∵k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－3. 8
经检验，k＝－3符合题意， 8
故直线l的方程为y＝－3(x－1)．
→→能力提升题组 (建议用时：25分钟)
?7?
11．(优质试题·太原模拟)已知P是抛物线y2＝2x上动点，A?2，4?，若点P到y
??轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，则d1＋d2的最小值是 ( ) A．4
9
B.2
C．5
11D.2
1
解析 因为点P在抛物线上，所以d1＝|PF|－2(其中点F为抛物线的焦点)，11
则d1＋d2＝|PF|＋|PA|－2≥|AF|－2＝
119?71?2
?2－2?＋42－＝5－＝，当且仅当
222??
点P是线段AF与抛物线的交点时取等号，故选B.
第5页
