全能家教九年级第一次考试可能涉及的数学阅读理解题
1．阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程ax那么x1?x2??x1，x2。
2?bx?c?0(a?0)的两个根分别是
bcb32，x1x2?。 例如：已知方程2x?3x?5?0的两根分别为x1，x2,则：x1?x2????，aaa2x1x2?c?55???a22 请同学阅读后完成以下问题：
2（1）已知方程3x2－4x－6=0的两根分别为x1x2。求x1?x2和x1x2的值。（2分）（2）已知方程x?3x?2?0的两根分别为x1x2，
求
11x?1x的值。（1分）
2
2．阅读材料：如果一元二次方程
ax2?bx?c?0 (a?0)的两个实数根分别是x1 、x2，xxbc1?2??a , x 1 ?x2?a ．借助该材料完成下列各题：
（1）若x1 、x2是方程x2?4x?5?0的两个实数根，
x1?x2=______； x1?x2=_______．
（2）若x1 、x2是方程2x2?6x?3?0的两个实数根，
1x?1=_____；x12?x22＝______．
1x2（3）若x21 、x2是关于x的方程x2?(m?3)x?m?8?0的两个实数根，且x1?x22?13，求m的值．
3、学用新的知识题 例1 阅读材料：已知方程
p2?p?1?0，1?q?q2?0且pq?1，求
pq?1q的值。 解：由
p2?p?1?0，及1?q?q2?0 可知p?0，q?0 又?pq?1?p?1q ?1?q?q2?0可变形为 (1q)2?(1q)?1?0
根据
p2?p?1?0和(1q)2?(1q)?1?0的特征 ?p、
1q是方程x2?x?1?0的两个不相等的实数根
则
p?1pq?1q?1，即q?1 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答。 已知：2m2?5m?1?0，
1n2?5n?2?0 且m?n，求1m?1n的值。 那么
1
4、归纳数学思想方法题例3 阅读材料，解答问题。 为解方程(x设
2x2?1?y 则原方程可化为y2?5y?4?0?1)2?5(x2?1)?4?0，我们可以将x2?1视为一个整体，(1)
解得y1?1，y2?4 当y=1时，x2?1?1 ?x2?2即x??2
2当y=4时，x?1?4 ?x2?5即x??5
?原方程的解为x1?2，x2??2，x3?5，x4??5。
解答问题：（1）填空：在原方程得到方程(1)的过程中，利用______________法达到降次的目的，体现了_______________的数学思想。
（2）解方程x
5、探索解的规律题
例4 阅读下列材料：关于x的方程：
4?x2?6?0。
x?x?111?c?的解是x1?c，x2?；
cxc11?1?11?c?（即x??c?）的解是x1?c，x2??；
xccxcx?x?……
222?c?的解是x1?c，x2?；
cxc333?c?的解是x1?c，x2?
cxc由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解。
请用这个结论解关于x的方程：
x?22?a? x?1a?16、图表信息题 例5 阅读并解答下列问题：
（1）如下表，方程1、方程2、方程3、…是按一定规律排列的一列方程，解方程1，并把它的解填在表中的空白处：
序号 方程 方程的解 1 61??1 xx?2x1? x1?4 x1?5 … x2? x2?6 x2?8 … 2 81??1 xx?3101??1 xx?4… 3 … （2）若方程
a1??1(a?b)的解是x1?6，x2?10，求a、b的值，该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？xx?b如果是，它是第几个方程？ （3）请写出这列方程中的第n个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n个方程。
2
7. 阅读下面的例题：
解方程x2?|x|?2?0。
2解：（1）当x?0时，原方程化为x?x?2?0，解得x1?2，x2??1（不合题意，舍去）。
（2）当x<0时，原方程化为x2?x?2?0，解得x1?1（不合题意，舍去），x2??2。
所以原方程的根是x1?2，x2??2。
参照例题解方程x2?|x?1|?1?0，得到此方程的根是_________。
8：方程1：
x?14x?216x?336?2?1；方程2：?2?1；方程3：?2?1；…方程k。 x?1x?1x?2x?4x?3x?9（1）解方程1；
（2）先从方程1、2、3中所反映的某种规律写出方程k，再根据方程1的结果，提出对方程k的解的情况的猜想，并说明你猜想的理由。
9、先阅读下面的例题及解答过程，然后解答后面的问题。
例题：若方程x2?6x?k?1?0与x2?kx?7?0有相同的根，求k的值及相同的根。
解：设相同的根为α，则有
2????6??k?1?0 ?2???k??7?0?所以?2?6??k?1??2?k??7，即(6?k)??6?k。
（1）当k≠6时，α=1，代入原方程可求得k??6； （2）当k=6时，代入原方程中，两方程均为x2?6x?7?0解得x1??1，x2?7。
故当k≠6时，有一个相同的根是α=1；当k=6时，它们两根都相同，是－1和7。 请你依照上面的解答，完成下题：
已知m为非负实数，当m取什么值时，关于x的方程x
2?mx?1?0与x2?x?m?2?0仅有一个相同的实根？
3
10．阅读下面的问题： 解方程x解：（1）当x （2）当x2?x?2?0
?0时，原方程化为x2?x?2?0 解得：x1?2，x2??1（不合题意，舍去） ?0时，原方程化为x2?x?2?0 解得：x1??2，x2?1（不合题意，舍去）
综上所述，原方程的根是x1请参照例题解方程 （1）x
11．阅读下列材料，解答问题：
2?2，x2??2
?x?1?1?0 （2）x2?2x?1?4
?1)2?5(x2?1)?4?0，我们可以将x2?1视为一个整体，设x2?1?y，则(x2?1)2?y2，原方程可化为y2?5y?4?0……① 解之得：y1?1，y2?4
22当y1?1时，则x?1?1 ∴x?2 ∴x??2 22当y1?4时，则x?1?4 ∴x?5 ∴x??5 ∴原方程的解为 x1?2，x2??2，x3?5，x4??5 为解方程(x2解答问题：
（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用了 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想 解方程 ①x
③(x?2007)(x?2008)?12 ④(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?1?0
12．先阅读下列第（1）题的解答过程： （1）已知?，?是方程x解法1： ∵?，?是方程x ∴?2224?x2?6?0 ②(x2?4x)2?2(x2?4x)?15?0
?2x?7?0的两个实数根，求?2?3?2?4?的值
?2x?7?0的两个实数根
?2??7?0，?2?2??7?0且?????2 ∴?2?7?2?，?2?7?2? ∴?2?3?2?4? ?3(7?2?)?4?＝28?2(?＝7?2???)＝28?2?(?2)＝32
解法2：由求根公式得
???1?22，???1?22 ∴?2?3?2?4?＝(?1?22)2?3(?1?22)2?4(?1?22)
＝9?4
2?3(9?42)?4?82＝32
请仿照上面的解法中的一种或自己另外寻求一种方法解答下面的问题：
（2）已知x1，x2是方程x
232?x?9?0两个实数根，求代数式x1?7x2?3x2?66的值.
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