§1 连续函数的性质连续函数的局部
性质
闭区间上连续函数的
性质反函数的连续性
一致连续性
例如,符号函数y?sgnx的最大值为1,最小值为-1;正弦函数y?sinx的最大值为1,最小值为-1;函数y?x?[x]的最大值不存在,最小值为零.注意:
ππy?sinx在(?,)上既无最大值,又无最小值.
22(其上确界为1, 下确界为-1)
定理4.6（最大、最小值定理）若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有最大、最小值.这个定理刻画了闭区间上连续函数的一个深刻的
内涵,在今后的学习中有很广泛的应用.
数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社§1 连续函数的性质连续函数的局部
性质
闭区间上连续函数的
性质反函数的连续性
一致连续性
为了更好地证明定理，我们先证明一个引理.
引理（有界性定理）若函数f(x)在[a,b]上连续，那么f(x)在[a,b]上有界.证 若不然,不妨设f(x) 在[a,b]上无界.则存在xn?[a,b]，使得f(xn)?n,n?1,2,由此得到limf(xn)???.因为{xn}(?[a,b])是有界n??{xn}有收敛子列{xnk}.数列,所以由致密性定理，数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社§1 连续函数的性质
连续函数的局部
性质
闭区间上连续函数的
性质反函数的连续性
一致连续性
设limxnk?x0,k??由于 a?xnk?b,由极限的不等式推得a?x0?b,故f(x)在x0上连续.由归结原则推得+??limf(xn)?limf(xnk)?f(x0)n??k??矛盾.数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社§1 连续函数的性质
连续函数的局部
性质
闭区间上连续函数的
性质反函数的连续性
一致连续性
定理4.6的证明由引理和确界原理，存在上确界supf(x)?M.x?[a,b]下面说明：存在??[a,b]，使f(?)?M.对一切x?[a,b]都有f(x)?M.令1g(x)?,x?[a,b].M?f(x)若不然，易见函数g(x)在[a,b]上连续,且取正值.由引理g(x)有上界J,即有10?g(x)??J,x?[a,b].M?f(x)数学分析第四章函数的连续性高等教育出版社
