【解答】（1）解：设圆锥的高为h，底面半径为r，则r=1，h=∴圆锥的体积V=Sh=
；
，
（2）证明：由对称性得AC∥BD， ∵AC?平面PBD，BD?平面PBD， ∴AC∥平面PBD，
∴C到平面PBD的距离即直线AC到平面PBD的距离， 设C到平面PBD的距离为d，则由VC﹣PBD=VP﹣BCD，得可得
，∴d=
， ．
，
∴直线AC到平面PBD的距离为
20．已知数列{an}中，an+1=
+
（n∈N*），a1=1；
（1）设bn=3nan（n∈N*），求证：{bn}是等差数列； （2）设数列{an}的前n项和为Sn，求【考点】数列的求和；等差数列的通项公式． 【分析】（1）由an+1=
+
（n∈N*），可得3n+1an+1﹣3nan=3，又bn=3nan（n∈N*），可
的值．
得bn+1﹣bn=3，利用等差数列的定义即可证明． （2）由（1）可得：bn=3n，3nan=3n，可得an=项和公式可得：Sn=﹣【解答】（1）证明：∵an+1=
+
．利用“错位相减法”与等比数列的前n
．再利用极限的运算性质即可得出．
（n∈N*），∴3n+1an+1﹣3nan=3，又bn=3nan（n∈N*），
∴bn+1﹣bn=3，
∴{bn}是等差数列，首项为3，公差为3．
（2）解：由（1）可得：bn=3+3（n﹣1）=3n， ∴3nan=3n，可得an=∴Sn=1+
=
+3×
． +…++…+（n﹣1×）
+n×+n×
，
，
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∴=1+++…+﹣n×=﹣n×=﹣×
， ∴Sn=﹣∴
=
．∴1﹣
=
．
．
∴==．
21．图为一块平行四边形园地ABCD，经测量，AB=20米，BC=10米，∠ABC=120°，拟过线段AB上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为3：1的左、右两部分分别种植不同的花卉，设EB=x，EF=y（单位：米）
（1）当点F与点C重合时，试确定点E的位置；
（2）求y关于x的函数关系式，并确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】（1）当点F与点C重合时，S△BEC=S?ABCD，即?EB?h=AB?h，从而确定点E的位置；
（2）点E在线段AB上，分10?x?20与0?x＜10讨论以确定y关于x的函数关系式，从而利用分段函数解得，当0?x＜10时，y=2
，由二次函数求最小值，当10?x
?20时，y=，由基本不等式求最值；从而可得．
【解答】解：（1）当点F与点C重合时，S△BEC=S?ABCD，即?EB?h=AB?h， 其中h为平行四边形AB边上的高，得EB=AB，即点E是AB的中点． （2）∵点E在线段AB上， ∴0?x?20，
当10?x?20时，由（1）知，点F在线段BC上， ∵AB=20m，BC=10m，∠ABC=120°，
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∴S?ABCD=AB?BC?sin∠ABC=20×10×由S△EBF=x?BF?sin120°=25∴由余弦定理得， y=EF=
当0?x＜10时，点F在线段CD上， 由S四边形EBCF=（x+CF）×10×sin60°=25当BE?CF时，EF=当BE＜CF时，EF=化简均为y=EF=2
， ，得BF=
=100，
．
=，
得CF=10﹣x，
， ，
综上所述，y=；
当0?x＜10时，y=2
，当x=时，y有最小值ymin=5
?10
＞5
，
，此时CF=；
当10?x?20时，y=
故当点E距点B2.5m，点F距点C7.5m时，EF最短，其长度为5．
22．已知圆E：（x﹣1）2+y2=4，线段AB、CD都是圆E的弦，且AB与CD垂直且相交于坐标原点O，如图所示，设△AOC的面积为S1，设△BOD的面积为S2； （1）设点A的横坐标为x1，用x1表示|OA|； （2）求证：|OA|?|OB|为定值；
（3）用|OA|、|OB|、|OC|、|OD|表示出S1+S2，试研究S1+S2是否有最小值，如果有，求出最小值，并写出此时直线AB的方程；若没有最小值，请说明理由．
【考点】圆方程的综合应用． 【分析】（1）利用距离公式，即可用x1表示|OA|；
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（2）分类讨论，计算|OA|?|OB|，即可证明|OA|?|OB|为定值；
（3）由（2）得|OA|?|OB|=3，同理|OC||OD|=3，利用基本不等式，即可得出结论． 【解答】（1）解：设A（x1，y1），代入圆E：（x﹣1）2+y2=4，得y12=﹣x12+2x1+3， ∴|OA|=
=
；
（2）证明：设B（x2，y2）， 同理可得|OB|=∴|OA|?|OB|=
，
x1≠x2，设直线AB的方程为y=kx，代入圆的方程得（k+1）x2﹣2x﹣3=0， ∴x1+x2=
，x1x2=﹣
，
代入可得|OA|?|OB|=3，
x1=x2，直线过原点，直线AB的方程为x=0，即x1=x2=0，代入可得|OA|?|OB|=3， 综上所述，|OA|?|OB|=3为定值；
（3）解：由（2）得|OA|?|OB|=3，同理|OC||OD|=3 ∴S1+S2=（|OA||OC|+|OB||OD|）?
=3，当且仅当
|OA||OC|=|OB||OD|时取等号，
此时，S1+S2最小值为3，直线AB的方程为y=±x．
23．已知非空集合A是由一些函数组成，满足如下性质： ①对任意f（x）∈A，f（x）均存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）∈A； ②对任意f（x）∈A，方程f（x）=x均有解；
③对任意f（x）、g（x）∈A，若函数g（x）为定义在R上的一次函数，则f（g（x））∈A；（1）若f（x）=∈A；
（2）若函数f（x）=
（x?1）在集合A中，求实数a的取值范围； ，g（x）=2x﹣3均在集合A中，求证：函数h（x）=
（2x﹣3）
（3）若集合A中的函数均为定义在R上的一次函数，求证：存在一个实数x0，使得对一切
f（x）∈A，均有f（x0）=x0．
【考点】反函数；函数解析式的求解及常用方法． 【分析】（1）由f（x）=＞0，使得
∈A，根据性质①可得：f﹣1（x）=
∈A，且存在x0
=x0，由g（x）=2x﹣3∈A，且为一次函数，根据性质③即可证明．
=x（x?1），即a=x在x∈[1，+∞）上有解，可得a?1．变形﹣2，（x∈[1，+∞））．对
与2的关系分类讨论，利用基本不
（2）由性质②，方程f（x）=
=x+1+
等式的性质即可得出．
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