2016年上海市杨浦区高考数学三模试卷（理科）
一.填空题
1．函数y=log2（x+1）的反函数为 ．
2．若直线l1：2x+my+1=0与l2：y=3x﹣1垂直，则实数m= ．
3．若2+i（i虚数单位）是实系数一元二次方程x2+px+q=0的根，则p+q= ． 4．已知sinx=，x∈（
，π），则行列式
的值等于 ．
5．已知A={x|＞1}，B={x|log2（x﹣1）＜1}，则A∩B= ．
6．已知A地位于东经30°、北纬45°，B地位于西经60°、北纬45°，则A、B两地的球面距
离与地球半径的比值为 ．
7．在某次数学测验中，5位学生的成绩如下：78、85、a、82、69，他们的平均成绩为80，则他们成绩的方差等于 ． 8．在极坐标系下，点（2，9．若（x+
）到直线ρcos（θ﹣
）=1的距离为 ．
）n（n∈N*）展开式中各项系数的和等于64，则展开式中x3的系数
是 ．
10．三阶矩阵
中有9个不同的数aij（i=1，2，3；j=1，2，3），从中任取三
个，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 （结果用分数表示） 11．若函数y=cos（x+
）的图象向右平移φ个单位（φ＞0），所得到的图象关于y轴对
称，则φ的最小值为 ．
12．若两整数a、b除以同一个整数m，所得余数相同，即
=k（k∈Z），则称a、b对
模m同余，用符号a≡b（mod m）表示，若a≡10（mod 6）（a＞10），满足条件的a由小到
大依次记为a1，a2…an，…，则数列{an}的前16项和为 ． 13．已知双曲线
﹣
=1（a∈N*）的两个焦点为F1，F2，P为该双曲线上一点，满足
|F1F2|2=|PF1|?|PF2|，P到坐标原点O的距离为d，且5＜d＜9，则a2= ． 14．如图，已知AB⊥AC，AB=3，AC=，圆A是以A为圆心半径为1的圆，圆B是以B为圆心的圆．设点P，Q分别为圆A，圆B上的动点，且是 ．
=
，则
?
的取值范围
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二.选择题
15．已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q（p≠0，q≠1），则“q=﹣1”是“数列{an}是等比数列”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
16．已知z1、z2均为复数，下列四个命题中，为真命题的是（ ） A．|z1|=|
|=
B．若|z2|=2，则z2的取值集合为{﹣2，2，﹣2i，2i}（i是虚数单位） C．若z12+z22=0，则z1=0或z2=0 D．z1
+
z2一定是实数
的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值
17．椭圆C：
范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（ ） A．
B．
C．
D．
18．定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A（a，f（a）），B（b，f（b）），M（x，y）是y=f（x）图象上任意一点，过点M作垂直于x轴的直线l交线段AB于点N（点M与点N可以重合），我们称||的最大值为该函数的“曲径”，下列定义域为[1，2]上的函数中，曲径最小的是（ ）
A．y=x2 B．y= C．y=x﹣ D．y=sin
x
三.解答题
19．如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，线段AB和线段CD都是底面圆的直径，且直线AB与直线CD的夹角为
，已知|OA|=1，|PA|=2．
（1）求该圆锥的体积；
（2）求证：直线AC平行于平面PBD，并求直线AC到平面PBD的距离．
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20．已知数列{an}中，an+1=
+
（n∈N*），a1=1；
（1）设bn=3nan（n∈N*），求证：{bn}是等差数列； （2）设数列{an}的前n项和为Sn，求
的值．
21．图为一块平行四边形园地ABCD，经测量，AB=20米，BC=10米，∠ABC=120°，拟过
线段AB上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度），将该园地分为面积之比为3：1的左、右两部分分别种植不同的花卉，设EB=x，EF=y（单位：米）
（1）当点F与点C重合时，试确定点E的位置；
（2）求y关于x的函数关系式，并确定点E、F的位置，使直路EF长度最短．
22．已知圆E：（x﹣1）2+y2=4，线段AB、CD都是圆E的弦，且AB与CD垂直且相交于坐标原点O，如图所示，设△AOC的面积为S1，设△BOD的面积为S2； （1）设点A的横坐标为x1，用x1表示|OA|； （2）求证：|OA|?|OB|为定值；
（3）用|OA|、|OB|、|OC|、|OD|表示出S1+S2，试研究S1+S2是否有最小值，如果有，求出最小值，并写出此时直线AB的方程；若没有最小值，请说明理由．
23．已知非空集合A是由一些函数组成，满足如下性质： ①对任意f（x）∈A，f（x）均存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）∈A； ②对任意f（x）∈A，方程f（x）=x均有解；
③对任意f（x）、g（x）∈A，若函数g（x）为定义在R上的一次函数，则f（g（x））∈A；
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（1）若f（x）=∈A；
（2）若函数f（x）=
，g（x）=2x﹣3均在集合A中，求证：函数h（x）=（2x﹣3）
（x?1）在集合A中，求实数a的取值范围；
（3）若集合A中的函数均为定义在R上的一次函数，求证：存在一个实数x0，使得对一切f（x）∈A，均有f（x0）=x0．
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