整 式 的 乘 除
知识点归纳：
1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数和叫单项式的次数。 如：?2abc的 系数为?2，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
如：a?2ab?x?1，项有a、?2ab、x、1，二次项为a、?2ab，一次项为x，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。 3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 4、多项式按字母的升（降）幂排列： 如：x?2xy?xy?2y?1
按x的升幂排列：?1?2y?xy?2xy?x 按x的降幂排列：x?2xy?xy?2y?1 5、同底数幂的乘法法则：a?a?amnm?n2222322332233223（m,n都是正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 如：(a?b)?(a?b)?(a?b) 6、幂的乘方法则：(a)?amnmn235（m,n都是正整数）
5210幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：(?3)?3 幂的乘方法则可以逆用：即amn?(am)n?(an)m
ab62332如：4?(4)?(4) 已知：2?3，32?6，求23a?10b的值；
7、积的乘方法则：(ab)?ab（n是正整数） 积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（?2xyz)=(?2)?(x)?(y)?z??32xyz 8、同底数幂的除法法则：a?a?amnm?nnnn32553525515105（a?0,m,n都是正整数，且m?n)
1 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：(ab)4?(ab)?(ab)3?a3b3 9、零指数和负指数；
a0?1，即任何不等于零的数的零次方等于1。
1（a?0,p是正整数），即一个不等于零的数的?p次方等于这个数的p次方的倒数。 ap131?3如：2?()?
28a?p?10、科学记数法：如：0.00000721=7.21?10（第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方） 11、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单
项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 注意：
①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 ②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。 如：?2xyz?3xy?
12、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 即m(a?b?c)?ma?mb?mc(m,a,b,c都是单项式)
注意：
①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 ③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。] 如：2x(2x?3y)?3y(x?y)
13、多项式与多项式相乘的法则；
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。
23?6、(3a?2b)(a?3b)2、(x?5)(x?6) 如：114、平方差公式：(a?b)(a?b)?a?b注意平方差公式展开只有两项
公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。
如：（a+b－1）（a－b+1）= 。计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)
22 2 15、完全平方公式：(a?b)2?a2?2ab?b2
公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。 注意：
a2?b2?(a?b)2?2ab?(a?b)2?2ab (a?b)2?(a?b)2?4ab (?a?b)2?[?(a?b)]2?(a?b)2 (?a?b)?[?(a?b)]?(a?b)
2221.?a?b??2ab?a2?b22.?a?b??2ab?a2?b222223.?a?b?2?倍。?a? b??2a2?b2 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的
??22如：⑴、试说明不论x,y取何值，代数式x2?的值总是正数。 y6bx??44.?a???y??a15?b?2?4aba2?b222(a?b)(a?b)?16,ab?4,3⑵、已知 求与的值.
16、三项式的完全平方公式：
(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc
17、单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 如：?7abm?49ab
18、多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。
即：(am?bm?cm)?m?am?m?bm?m?cm?m?a?b?c
?24??2?方法总结：①乘法与除法互为逆运算。 ②被除式=除式×商式+余式
例如：已知一个多项式除以多项式a2?4a?3所得的商式是2a?1，余式是2a?8，求这个多项式。
怎样熟练运用公式：
（一）、明确公式的结构特征
3 这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．
（二）、理解字母的广泛含义
乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（x+2y－3z）2，若视x+2y为公式中的a，3z为b，则就可用（a－b）2=a2－2ab+b2来解了。
（三）、熟悉常见的几种变化
有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．
常见的几种变化是：
1、位置变化 如（3x+5y）（5y－3x）交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了．
2、符号变化 如（－2m－7n）（2m－7n）变为－（2m+7n）（2m－7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）
3、数字变化 如98×102，992，912等分别变为（100－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）2
后就能够用乘法公式加以解答了．
4、系数变化 如（4m+n）（2m－n）变为2（2m+n）（2m－n）后即可用平方差公
2444式进行计算了．
5、项数变化 如（x+3y+2z）（x－3y+6z）变为（x+3y+4z－2z）（x－3y+4z+2z）后再适当分组就可以用乘法公式来解了．
（四）、注意公式的灵活运用
有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算（a2+1）2·（a2－1）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便．即原式=[（a2+1）（a2－1）]2=（a4－1）2=a8－2a4+1．
对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－
122）（1－
132）（1－
142）…（1－
192）（1－
1102），若分别算出各因式的
值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆
用平方差公式，则可巧解本题．
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