?(1)?{X?(1)(1),X?(1)(2),列X?(1)(n)}，定义残差为 ,X?(1)(j) e(0)(j)?X(1)(j)?X?若取j=i,i+1,…,n,则与X(1)及X(1)对应的残差序列为
e(0)?{e(0)(i),e(0)(i?1),为便于计算上式改写为
,e(0)(n)}
?e(0)(2?), e(0)?{e(0)(1),e(0)的累加生成序列为
,e(0)(n?)}
?e(1)(2?), e(1)?{e(1)(1),e(1)可建立相应的GM(1,1)模型：
,e(1)(n?)}n??n?i
?(k?1)?(e(1)? e(1)(0)ue?aekue)e? aeaeue?ae(k?1)?(1)(k?1)，得?(1)(k?1)修正X加上e)eae??(k?1)?(?ae)(e(0)(1)??(1)(k?1)的导数ee修正模型：
?(1)(k?1)?(X(0)(1)?u)e?aku??(k?1)(?a)(e(0)(1)?ue)e?ae(k?1) Xeaaae?1,k?2其中?(k?1)??为修正系数．
0,k?2?最后给出经过残差修正的原始序列预测模型：
?(0)(k?1)?X?(1)(k?1)?X?(1)(k)(k?1,2,) X§12.6 灰色预测模型案例
一、问题描述
表8给出了上海市1991年－1996年国内生产总值总消费资料．
生产决定消费，国内生产总值总消费决定了居民的消费水平，为此很有必要对国内生产总值总消费进行科学预测，分析国内生产总值总消费发展趋势，为宏观经济政策的制定提供重要的参考．
表8 国内生产总值总消费 单位：亿元 年份 国内生产总值总消费 1991 1992 1993 1994 1995 1996 386.06 476.57 679.35 873.89 1085.33 1252.33 试根据表8的资料，建立上海市国内生产总值总消费的灰色预测模型GM(1,1)，并预测上海市1998年国内生产总值总消费．
二、模型的建立及求解
1.令X(0)(1),X(0)(2),…,X(0)(6)对应于原始序列数据． 第一步，构造累加生成序列：
X(1)(1)?X(0)(1)?386.06X(1)(2)?X(1)(1)?X(0)(2)?862.63X(1)(3)?X(1)(2)?X(0)(3)?1541.98X(4)?X(3)?X(1)(1)(0)(4)?2415.87
X(1)(5)?X(1)(4)?X(0)(5)?3501.2X(1)(6)?X(1)(5)?X(0)(6)?4753.53第二步，构造数据矩阵B和数据向量Y1：
?1(1)(1)?[X(1)?X(2)]?2???1[X(1)(2)?X(1)(3)]?2?1B???[X(1)(3)?X(1)(4)]?1??1???624.345?????1202.3051????1978.9251??1?1? ??2?1????12[X(1)(4)?X(1)(5)]1?????2958.535??????4127.3651?????12[X(1)(5)?X(1)(6)]1?????476.57??Y?679.35?1???873.89?
?1085.33????1252.33??第三步，计算BTB, (BTB)-1, BTY1：
BTB???31539559.34?1081.475?，T?1?0.00000012??1081.4755??(BB)???0.000278742BTY??11223502.57?1??，?4367.47?????(BTB)?1BTY??0.207987503?1???396.8903031??即??a??0.207987503???396.8903031
第四步，得出预测模型：
dX(1)dt?0.207987503X(1)?396.8903031 X(0)(1)?386.06?a??1908.241108
X(0)(1)??a?2294.301108
X(1)(k?1)?2294.301108e0.207988k?1908.241108
0.000278742?0.808183989??
三、模型检验
第五步，进行关联度检验： （1）计算：
?(1)?0,?(2)?53.87,?(3)?26.28,?(4)?69.82,?(5)?95.37,?(6)?33.48,
min{?(k)}?0,max{?(k)}?95.37
（2）计算关联系数：
?(1)?1,?(?2)0.?47,?(3)?0.6?4,(?4)?0.41,?(50.?)590ik?i(k)?minmin|X0(k)?Xi(k)|??maxmax|X0(k)?Xi(k)|ik|X0(k)?Xi(k)|??maxmax|X0(k)?Xi(k)|ik
1r?(1?0.47?0.64?0.41?0.33?0.59)?0.573，r?0.573是基本满足??0.56时，r>0.57的．
所以关联度检验通过． 第六步，后验差检验： （1）计算： X(0)1?(386.0?66476.?576?79.35?873.89?1085.73?932.122552.33) 5 S1??[X(0)(k)?X(0)]2n?1?341.065
（2）计算残差的均值：
1??(0?53.87?26.28?69.82?95.37?33.48)?46.47
6残差的标准差：
2[?(k)??]?S2?n?1?33.8438，C?S233.8438??0.09923 S1341.065
