抽屉原理
抽屉原理，又叫狄利克雷抽屉原理，它是一个重要而又基本的数学原理。 抽屉原理（一）：把多于n个的元素，按任一确定的方式分成n个集合，那么存在一个集合中至少含有两个元素。
抽屉原理（二）：把多于m×n个元素分成n个集合，那么一定有一个集合中至少有m+1个元素。
抽屉原理（三）：把m1+m2+?+mn+k (k≥1)个元素分成n个集合，那么，存在一个i，在第i个集合中至少有mi+1个元素。
应用抽屉原理来解题，首先要审题，即要分清什么作为“元素”，什么作为“抽屉”；其次要根据题目的条件和结论，结合有关的数学知识，恰当地设计抽屉，这是应用抽屉原理解题的关键。
一、分割图形造“抽屉”
例1．在边长为1的等边三角形内（包括边界），任意选定10个点，求证：至少
1有三个点，它们两两之间的距离不大于．
2证明：如右图，等边三角形ABC三边中点为D、E、F，
1DE、EF、FD把边长为1的三角形分成了四个边长为的正
2三角形．10个点都在这四个正三角形“抽屉”中，根据抽屉原理（二），至少有三个点落入同一个区域里，此三个点可连
1成一个三角形，任意两点之间的距离不大于．
2
例2．在边长为1的正方形内，任意给定5个点，试证：其中必有两个点，它们之间的距离不超过
2． 2例3．在3×4的长方形中，放置6个点.试证：可以找到两个点，它们的距离不大
于5．
例4．在半径为1的圆内任给6个点.求证：其中必有两个点，它们之间的距离不超过1．
例5．在直径为5的圆中放入10个点.求证：其中必有两个点，它们之间的距离小于2．
二、利用余数造“抽屉”
例6．求证：任意互异的8个整数中，一定存在6个整数x1，x2，x3，x4，x5，x6，使得(x1?x2)(x3?x4)(x5?x6) 恰是105的倍数．
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分析：105=3×5×7，而3、5、7两两互质，所以只要能找到两个数，比如x1，x2，使得x1?x2是7的倍数，同理x3?x4是5的倍数，x5?x6是3的倍数，题目即得证．
证明：根据抽屉原理（一），在任意8个整数中，必有两个整数被7除同余，那么，它们的差一定是7的倍数．假设这两个数为x1，x2，使得x1?x2=7k1．
在余下的6个数中，必有两个数被5除同余，这两个数的差一定是5的倍数，假设两数为x3，x4，则有x3?x4=5k2．在余下的4个数中，必有两个整数被3除所得余数相同，那么它们的差一定是3的倍数，假设两数为x5，x6，则有x5?x6=3k3．
(x1?x2)(x3?x4)(x5?x6) =7k1?5k2?3k3 =105×(k1?k2?k3)
所以，从任意8个互异的整数中，一定可以找到6个数x1，x2，x3，x4，x5，x6，使得(x1?x2)(x3?x4)(x5?x6) 恰是105的倍数．
例7．求证：在任给的52个整数中，必有两个数，它们的差恰是100的倍数． 例8．求证：从任意n个自然数a1，a2，a3，?，an中，总可以找到若干个数，它们的和是n的倍数．
三、竞赛题选例
例9．时钟的表盘上按标准的方式标着1、2、3、4……、11、12这12个数，在其上任意做n个120°的扇形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同。如果从这任做的n个扇形中总能恰好取出3个覆盖整个钟面的全部12个数，求n的最小值．
解：3个是最有利的情况，“任意做”变成了“恰好做”比如第一个覆盖1234，第二个覆盖5678，第三个覆盖9101112，而题中把“任意做n个”与“总能恰好取3个”搭配起来，所要表达的意思是要考虑最不利的情况，如果作的三个是1234，4567，891011，能找得出三个来覆盖整个表盘吗？
满足要求的n不能少于9．比如这9个分别是：1234，2345，3456，4567，5678，6789，78910，891011，9101112，如果去掉9101112，12这个数就没有被覆盖．
另外，n的最大值是12，分别为1234，2345，3456，4567，5678，6789，78910，891011，9101112，1011121，111212，12123这12个不同的扇形．从这12个扇形中至多任意去掉几个后还能保证找得出三个覆盖整个表盘呢？当然最多只能去掉三个，如2345，3456，4567．
因此答案是9．
怎么用抽屉原理来解这道题呢？
把可画出的以1-12为第一个数字的全部12个扇形分成如下4组，即4个抽屉．（1234，5678，9101112）（2345，6789，1011121）（3456，78910，111212），（4567，891011，12123）每个抽屉里的3个扇形都能覆盖整个表盘．
现在就是考虑至少取出多少个扇形（当作苹果）才能保证有三个扇形（苹果）取自同一个抽屉．根据抽屉原理的计算方法得：4×2+1=9，也就是每个抽屉取两个接着再
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取1个，不管怎么取都与已经取出的另两个来自同一个抽屉，也就是这3个扇形能覆盖整个表盘，所以n至少是9才能确保结论成立．
n的最小值为9．
例10．证明：在小于100的27个两两不等的自然数中，必定可以找到两个数，它们的和等于102．
例11．能否在n行n列的方格表的空格中，分别填上数字1，2，3，使得每行、每列及两条对角线上的数字之和都不相同？若能，请填一例；若不能，请说明理由．
例12．请你证明：在任何一个人数确定的集会中，一定有两个人，他们的朋友的数目一样多．
例13．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点。对于平面上任意5个整点，求证：其中一定有两个点，连接这两点的线段的中点仍为整点．
例14．围着一张可转动的圆桌，均匀地放有10把椅子，在桌子上对着椅子放有10个人的名片．当这10个人随意入座后，发现谁都没有对着自己的名片．求证：可以适当地转动桌子，至少能使两个人对上自己的名片．
例15．把1到10这十个自然数任意摆成一个圆圈。求证：必有3个相邻的数，它们的和不小于17．
例16．设平面上有9条直线，其中每一条都把已知正方形ABCD分成两个四边形，它们面积之比恰为2 : 3．求证：这9条直线中至少有3条是共点的．
例17．在3×7的矩形格板上的每个小方格涂上红、 蓝两种颜色中的一种．证明：至少可以找到一个矩形，它 的四个角上的小方格都涂有相同的颜色．
例18．S为n+1个都不超过2n的正整数的集合，求证：S中至少有一个数能被另一个数整除．
例19．平面上有25个点，每3个点中都有两个点的距离小于1．证明：用半径为1的圆纸片，能至少盖住其中的13个点．
例20．在平面上依次画出首尾相接的n条线段，其中第n号线段的终端恰与第1号线段的始端重合,其中每一条线段都叫一个“线节”．若一个线节的始端恰是另一个线节的终端，称这两个线节是相邻的．我们规定：相邻的两个线节不能画在同一直线上，不相邻的任两个线节都不相交，满足上述条件的图形称做“简单折线圈”．若一个简单折线圈的全部n个线节恰分布在6条直线上．试求n的最大值，并说明理由．
例21．将1～1999号准考证随意发放给31所中学的1999名参赛选手，请你证明：其中至少有一所学校要么可以找到3名选手，一人准考证号数的两倍等于另二人准考证号数之和；要么可以找到4名选手，其中两人准考证号数之和等于另外两人准考证号数之和．
例22．已知a1，a2，a3，…，a99，a100都是实数，在集合
{a1，
a?a2?a3a?a2?a3?????a100a1?a2，1，…，1}
10023中至少有51个元素的数值相等，求证：a1，a2，a3，…，a99，a100中有两个数相等．
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