=9块橡皮+1只圆珠笔
=7块橡皮+2只圆珠笔 =5块橡皮+3只圆珠笔 =3块橡皮+4只圆珠笔
=1块橡皮+5只圆珠笔 第一类共5种 第二类：橡皮和钢笔 55角=11块橡皮（不做考虑）
=6块橡皮+1只钢笔
=1块橡皮+2只钢笔 第二类共2种 第三类：圆珠笔和钢笔 55角=11块橡皮（不做考虑）
=1只钢笔+3只圆珠笔 第三类共1种
【例 8】 （难度等级 ※※※）袋中有3个红球，4个黄球和5个白球，小明从中任意拿出6个球，他拿出
球的情况共有________种可能．（2008年北京“数学解题能力展示”读者评选活动）
【解析】 按最少的红球来分类：3红时，黄?白?3，黄可取0，1，2，3共4种．
2红时，黄?白?4，黄可取0，1，2，3，4共5种． 1红时， 黄?白?5，黄可取0，1，2，3，4共5种． 0红时， 黄?白?6，黄可取0，1，2，3共4种． 共有：4+5+5+4=18（种）．
【例 9】 （难度等级 ※※）1、2、3、4四个数字，从小到大排成一行，在这四个数中间，任意插入乘号(最少插一个乘号)，可以得到多少个不同的乘积?
【解析】 按插入乘号的个数进行分类：
⑴若插入一个乘号，4个数字之间有3个空当，选3个空当中的任一空当放乘号，所以有3种不同的插法，可以得到3个不同的乘积，枚举如下：
1?2 3 4，1 2?3 4，1 2 3?4．
⑵若插入两个乘号，由于必有一个空当不放乘号，所以从3个空档中选2个空当插入乘号有3种不
同的插法，可以得到3个不同的乘积，枚举如下：
1?2?3 4，1?2 3?4，1 2?3?4．
⑶若插入三个乘号，则只有1个插法，可以得到l个不同的乘积，枚举如下：
1?2?3?4．
所以，根据加法原理共有3?3?1?7种不同的乘积．
【例 10】 （难度等级 ※※※）1995的数字和是1＋9＋9＋5=24，问：小于2000的四位数中数字和等于26
的数共有多少个?
【解析】 小于2000的四位数千位数字是1，要它数字和为26，只需其余三位数字和是25．因为十位、个位
数字和最多为9＋9=18，因此，百位数字至少是7．于是 百位为7时，只有1799，一个；
百位为8时，只有1889，1898，二个；
百位为9时，只有1979，1997，1988，三个； 总计共1＋2＋3=6个．
【巩固】 （难度等级 ※※※）1995的数字和是1＋9＋9＋5=24，问：小于2000的四位数中数字和等于24
的数共有多少个? 7-1.加法原理.题库 教师版 page 5 of 19 【解析】 小于2000的四位数千位数字是1，要它数字和为24，只需其余三位数字和是23．因为十位、个位
数字和最多为9?9?18，因此，百位数字至少是5．于是 百位为5时，只有1599一个；
百位为6时，只有1689，1698两个；
百位为7时，只有1779，1788，1797三个；
百位为8时，只有1869，1878，1887，1896四个；
百位为9时，只有1959，1968，1977，1986，1995五个； 根据加法原理，总计共1?2?3?4?5?15个．
【巩固】 （难度等级 ※※※）2007的数字和是2+0+0+7=9，问：大于2000小于3000的四位数中数字和等
于9的数共有多少个?
【解析】 大于2000小于3000的四位数千位数字是2，要它数字和为9，只需其余三位数字和是7．因此，百
位数字至多是7．于是根据百位数进行分类： 第一类，百位为7时，只有2700一个；
第二类，百位为6时，只有2610，2601两个；
第三类，百位为5时，只有2520，2511，2502三个；
第四类，百位为4时，只有2430，2421，2412，2403四个；
第五类，百位为3时，只有2340，2331，2322，2313，2304五个；
第六类，百位为2时，只有2250，2241，2232，2223，2214、2205六个；
第七类，百位为1时，只有2160，2151，2142，2133，2124、2115、2106七个；
第八类，百位为0时，只有2070，2061，2052，2043，2034、2025、2016、2007八个；
根据加法原理，总计共1?2?3?4?5?6?7?8?36个．
【巩固】 （难度等级 ※※※※）在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少？ 【解析】 以个位数的值为分类标准，可以分成以下几类情况来考虑： 第1类——个位数字是0，满足条件的数共有10个．其中： ⑴十位数字为0，有4000、3100、2200、1300，共4个；
⑵十位数字为1，有3010、2110、1210，共3个； ⑶十位数字为2，有2020、1120，共2个；
⑷十位数字为3，有1030，共1个．
第2类——个位数字是1，满足条件的数共有6个．其中： ⑴十位数字为0，有3001、2101、1201，共3个； ⑵十位数字为1，有2011、1111，共2个；
⑶十位数字为2，有1021，满足条件的数共有1个．
第3类——个位数字是2，满足条件的数共有3个．其中： ⑴十位数字为0，有2002、1102，共2个； ⑵十位数字为1，有1012，共1个．
第4类——个位数字是3，满足条件的数共有1个．其中：十位数字是0，有l003，共1个． 根据上面分析，由加法原理可求出满足条件的数共有10?6?3?1?20个．
【例 11】 有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，
如257，1459等等，这类数共有 个.
【解析】 按自然数的最高位数分类：
⑴ 最高位为1的有
7-1.加法原理.题库 教师版 page 6 of 19 10112358，112358，12358，1347，1459，156，167，178，189共9个
⑵最高位为2的有
202246，21347，2246，2358，246，257，268，279共8个 ⑶最高位为3的有
303369，31459，3257，3369，347，358，369共7个 ?
⑼最高位为9的有 9099共1个
所以这类数共有9?8?7?6???2?1?45个
【例 12】 如果一个大于9的整数，其每个数位上的数字都比他右边数位上的数字小，那么我们称它为迎春
数．那么，小于2008的迎春数一共有多少个？
【解析】 (法1)两位数中迎春数的个数．
⑴十位数字为1的：12，13，……，19．8个 ⑵十位数字为2的：23，24，……29．7个 ⑶十位数字为3的：34，35，……39．6个 ⑷十位数字为4的：45，46，……49．5个 ⑸十位数字为5的：56，57，……59．4个 ⑹十位数字为6的：67，68，69．3个 ⑺十位数字为7的：78，79．2个 ⑻十位数字为8的：89．1个 两位数共8?7???1?36个 三位数中迎春数的个数
⑴百位数字是1的：123～129，134～139……189．共28个． ⑵百位数字是2的：234～239，……289．共21个． ⑶百位数字是3的：345～349，……389．共15个． ⑷百位数字是4的：456～458，……489．共10个． ⑸百位数字是5的：567～569，……589．共6个． ⑹百位数字是6的：678，679，689．共3个． ⑺百位数字是7的：789．1个 1000～1999中迎春数的个数
⑴前两位是12的：1234～1239，……，1289．共21个． ⑵前两位是13的：1345～1349，……，1389．共15个． ⑶前两位是14的：1456～1459，……，1489．共10个． ⑷前两位是15的：1567～1569，……，1589．共6个． ⑸前两位是16的：1678，1679，1689．3个． ⑹前两位是17的：1789．1个 共56个．
所以小于2008的迎春数共36?84?56?176个．
(法2)小于2008的迎春数只可能是两位数，三位数和1000多的数．两位数的取法有9?8?2?36个．三位数的取法有9?8?7??3?2?1??84个．1000多的迎春数的取法有8?7?6??3?2?1??56个．
所以共36?84?56?176个．
【例 13】 有些五位数的各位数字均取自1，2，3，4，5，并且任意相邻两位数字(大减小)的差都是1．问这样的五位数共有多少个？
【解析】 ⑴首位取1时，千位只能是2，百位可以是1和3．
百位是1，十位只能是2，个位可以是1和3．2种．
百位是3，十位可以是2和4；十位是2，个位可以是1和3，十位是4，个位可以是3和5．4种． 所以，首位取1时，共有2?4?6种． ⑵首位取2时，千位可以是1和3．
7-1.加法原理.题库 教师版 page 7 of 19 千位是1，百位只能是2，十位可以是1和3．有3种．
千位是3，百位可以是2和4．百位是2，十位可是是1和3，有3种．百位是4，十位可以是3和5，有3种．千位是3时有3?3?6种． 所以首位取2时，共有3?6?9种． ⑶首位取3时，千位可以取2和4．
千位是2，百位可以取1和3．百位是1，十位只能是2，个位可以是1和3；2种．百位是3时，十位可以是2和4．十位是2个位可以是1和3；十位是4，个位可以是3和5；4种． 千位是4，百位可以取3和5．
百位是5，十位只能是4，个位可以是3和5；2种．百位是3，十位可能是2和4．十位是2个位可以是1和3；十位是4个位可以是3和5；4种． 所以，首位取3时，共有2?4?2?4?12种． ⑷首位取4时，千位可以取3和5． 千位是5，百位只能是4，十位可以是3和5．十位是3个位可以是2和4；十位是5个位只能是4．有3种．
千位是3，百位可以是2和4．百位是2，十位可以是1和3．十位是1个位只能是2；十位是3个位可以是2和4．有3种．百位是4，十位可以是3和5．十位是5个位只能是4；十位是3，个位可以是2和4．有3种．千位是3共有3?3?6种． 所以，首位取4时，共有3?6?9种．
⑸首位取5时，千位只能是4，百位可以是3和5．百位是5，十位只能是4，有2种；百位是3，十位可以是2和4，有4种．所以，首位取5时共有2?4?6种． 总共有：6?9?12?9?6?42个
也可以根据首位数字分别是1、2、3、4、5，画5个树状图，然后相加总共有：6?9?12?9?6?42个
模块二、树形图法、标数法及简单的递推
一、树形图法
“树形图法”实际上是枚举的一种，但是它借助于图形，可以使枚举过程不仅形象直观，而且有条理又不重复遗漏，使人一目了然．
【例 14】 （难度等级 ※※※）A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球(作为第一次传球)，这样经
过了5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共多少种？(2005年《小数报》数学邀请赛)
【解析】 如图，A第一次传给B，到第五次传回A有5种不同方式． 同理，A第一次传给C，也有5种不同方式．
所以，根据加法原理，不同的传球方式共有5?5?10种．
BAABACBCCBBCCA
【巩固】 （难度等级 ※※※）一只青蛙在A，B，C三点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳4次仍回到A点，
则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？
【解析】 6种，如图，第1步跳到B，4步回到A有3种方法；同样第1步到C的也有3种方法．根据加法原
7-1.加法原理.题库 教师版 page 8 of 19
