第一章不等关系与基本不等式
测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知<0,给出下列不等式:①a+b
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:由已知得b
答案:B
2.若a∈R,且p=,q=a2
-a+1,则有( ) A.p≥q
B.p>q
C.p≤q
D.p 解析:由于a∈R,显然有p>0,q>0,且=(a2-a+1)(a2+a+1)=a4+a2 +1≥1,因此q≥p. 答案:C 3.对于x∈R,不等式|x+10|-|x-2|≥8的解集为( ) A.[0,+∞) B.(0,2) C.[0,2) D.(0,+∞) 答案:A 4.下列函数中,最小值为2的是( ) A.y=x+ B.y=x2 -2x+4 C.y=x2 + D.y= 1 解析:在函数y=x+中,x>0,所以y=x+≥2答案:C 222 =2,当且仅当x=±1时函数取最小值2. 5.若不等式|ax+2|<4的解集为(-1,3),则实数a等于 ( ) A.8 C.-4 答案:D 6.已知函数f(x)是R上的增函数且为奇函数,数列{an}是等差数列,a3>0,则f(a1)+f(a3)+f(a5)的值( ) A.恒为正数 C.恒为0 B.恒为负数 D.可正可负 B.2 D.-2 解析:由-4 解析:因为f(x)是R上的增函数且为奇函数,a3>0,所以f(a3)>f(0)=0. 又a1+a5=2a3,所以a1+a5>0,则a1>-a5, 于是f(a1)>f(-a5),即f(a1)>-f(a5),所以f(a1)+f(a5)>0,所以f(a1)+f(a3)+f(a5)>0. 答案:A 7.已知f(x)=2x+3(x∈R),若|f(x)-1| B.b< C.a≤ D.a> 解析:由|f(x)-1| 由题意可得答案:A 解得b≥. 8.若x∈(0,π),则y=sincos的最大值等于( ) 2 A. B. C. D. 2 解析:y=sincos 224 ·2sin·cos·cos 222 ,当且仅当 2sin=cos,x∈(0,π)时等号成立.所以y≤答案:B 22 ,故所求最大值为. 9.若|x-1|<3,|y+2|<1,则|2x+3y|的取值范围是( ) A.(-∞,5) C.(-∞,9) 答案:B 10.若不等式x<|x-1|+a的解集是区间(-3,3)的子集,则实数a的取值范围是( ) A.(-∞,7) C.(-∞,5) 222 B.(-∞,13) D.(-∞,4) 解析:|2x+3y|=|2(x-1)+3(y+2)-4|≤2|x-1|+3|y+2|+|-4|<6+3+4=13. B.(-∞,7] D.(-∞,5] 2 2 解析:不等式x<|x-1|+a等价为x-|x-1|-a<0. 设f(x)=x-|x-1|-a,若不等式x<|x-1|+a的解集是区间(-3,3)的子集, 则 解得a≤5,故选D. 答案:D 11.设实数x,y满足x+2xy-1=0,则x+y的取值范围是( ) A.(-∞,-1]∪[1,+∞) B.[1,+∞) C.(-∞,-1] D.[-1,1] 2 解析:显然x≠0,由x+2xy-1=0可得y=2 ,因此x+y=x+,当x>0时,≥2=1, 当x<0时,答案:A ≤-1,故x+y的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞). 12.已知x>0,y>0,且xy-(x+y)=1,则( ) A.x+y≥2(B.xy≤ +1) +1 3 C.x+y≤(D.xy≥ +1)2 +1 ,即( )-2 2 解析:由xy-(x+y)=1可得xy=1+x+y≥1+2-1≥0,所以+1,则 xy≥( 答案:A +1)2,排除B和D;又xy=x+y+1≤,解得x+y≥2(+1).故选A. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.若x>-2,且x≠0,则的取值范围是 . 解析:因为x>-2,且x≠0,所以当x>0时有>0;当-2 ∪. 答案:(0,+∞)∪ 14.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f(x)在[0,1]上有意义,且f(0)=f(1),如果对于不 同的x1,x2∈[0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求证:|f(x1)-f(x2)|<.那么它的假设应该是 . 解析:“|f(x1)-f(x2)|<”的否定是|f(x1)-f(x2)|≥. 答案:|f(x1)-f(x2)|≥ 15.若不等式|x+1|+|x-3|≥a+对任意的实数x恒成立,则实数a的取值范围是 . 4
