所以，BC=OC=200米，
所以AB=BC﹣AC=200﹣200米，
所以速度为（200﹣200）÷2=100﹣100（米/分）≈4千米/时． 答：船从A处到B处航速约是4千米/小时．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，涉及到锐角三角函数、实数的运算、解直角三角形，难度
适中．体现了数学与生活的密切联系，同时也进行了实数运算方面的进一步考查，根据题意准确画出图形是解题的关键．
20．（2019?一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作△ABC的外接圆⊙O，作直径AE，连接BE； （2）若AB=10，AC=8，AD=6，求BE的长．
考点： 作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心．
分析： （1）首先利用三角形外接圆的作法得出AB，BC的垂直平分线，进而得出圆心位置，进而得出符合题意的
图形；
（2）利用三角形相似的判定与性质得出
解答： 解：（1）如图所示：
（2）∵AE是⊙O直径， ∴∠ABE=90°，
∵∠C=∠E，∠ADC=∠ABE， ∴△ABE∽△ADC，
∴
=
，
=，进而求出即可．
∵AD=6，AC=8， ∴DC=2∴
=
， ，
．
解得：BE=
点评： 此题主要考查了三角形的外接圆的作法以及相似三角形的判定与性质等知识，得出DC的长进而求出是解
题关键．
21．（2019?一模）如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，记四边形A1ABB1的面积为S1；再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，记四边形A2A1B1B2的面积为S2；再分别取A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…
（1）由已知，可求得S1= （2）利用这一图形，计算
，S2=
，S100=
．
；
考点： 相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理． 专题： 规律型．
分析： （1）首先计算出第一个和第二个、第三个三角形的面积找到规律即可求出问题的答案；
（2）根据（1）中的规律计算即可．
解答： 解：（1）∵A1、B1分别是AC、BC两边的中点，
且△ABC的面积为1，
∴△A1B1C的面积为1×=．
∴四边形A1ABB1的面积=△ABC的面积﹣△A1B1C的面积==1﹣； ∴四边形A2A1B1B2的面积=△A1B1C的面积﹣△A2B2C的面积=﹣…，
∴第n个四边形的面积=∴S100=
．
，
；
=（
）=
．
，
=
．
故答案为：，
（2）由（1）可知：
点评： 本题考查了三角形的中位线性质定理和相似三角形的性质，同时也考查了学生通过特例分析从而归纳总结
出一般结论的能力．
22．（2019?一模）已知二次函数y=x2+x﹣2的图象与y轴相交于点C，与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点D，连接AC．
（1）点C的坐标为 （0，﹣2） ，点A的坐标为 （﹣4，0） ；
（2）抛物线上是否存在点E，使得△EOA为等边三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点P为x轴下方的抛物线上的一个动点，连接PA，PC，记△PAC的面积为S，问S取何值时，相应的点P有且只有2个？
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）抛物线的解析式中，令x=0可得二次函数与y轴交点C的纵坐标，令y=0可得二次函数与x轴交点的
横坐标；
（2）若在x轴下方的抛物线上存在一点E，使△EOA为等边三角形，先由OA=4，根据等边三角形的性质
得出点E的坐标为（﹣2，﹣2物线上；
），再将x=﹣2代入y=x2+x﹣2，求出y的值，即可判断点E是否在抛
（3）过点B、点O分别作AC的平行线，记为l1，l2，与AC平行且与抛物线y=x2+x﹣2只有一个交点的直线记为l3，设此唯一交点为T．利用待定系数法求得直线AC的解析式为y=﹣x﹣2，直线l3的解析式为y=﹣x﹣4．设直线l3与y轴的交点为H，直线l2与抛物线在x轴下方的交点为N，则H（0，﹣4）．作CM⊥直线l3于点M，得出△CMH∽△AOC，根据相似三角形对应边成比例得到即直线l3与AC之间的距离为
=
，求出CM=
，
．由CH=CO=2，得出直线l2与AC之间的距离也是
×
，根据三角形
的面积公式求出S△TAC=S△NAC=×2=4，则S=4时，相应的点P有且只有2个，就是点T和点N．在
直线l2与直线l3之间，S的值对应的点P有三个；在直线l1与直线l2之间，S的值对应的点P只有一个．
解答：
解：（1）∵y=x2+x﹣2， ∴当x=0时，y=﹣2，
∴点C的坐标为（0，﹣2）． 当y=0时，x2+x﹣2=0，
即：x2+3x﹣4=0， 解得x=﹣4和x=1，
∴点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（1，0）． 故答案为（0，﹣2），（﹣4，0）；
（2）若在x轴下方的抛物线上存在一点E，使△EOA为等边三角形，则因为OA=4，所以点E的坐标为（﹣2，﹣2
），
，所以点E不在抛物线上，
但当x=﹣2时，y=×（﹣2）2+×（﹣2）﹣2=﹣3≠﹣2所以不存在符合要求的点E；
（3）过点B、点O分别作AC的平行线，记为l1，l2，与AC平行且与抛物线y=x2+x﹣2只有一个交点的直线记为l3，设此唯一交点为T． 可求得直线AC的解析式为y=﹣x﹣2， 直线l3的解析式为y=﹣x﹣4．
设直线l3与y轴的交点为H，直线l2与抛物线在x轴下方的交点为N，则H（0，﹣4）． 作CM⊥直线l3于点M，则△CMH∽△AOC， ∴
=
，即
=
，CM=
， ．
∴直线l3与AC之间的距离为∵CH=CO=2，
∴直线l2与AC之间的距离也是∴S△TAC=S△NAC=×2
×
，
=4，
∴S=4时，相应的点P有且只有2个，就是点T和点N．
在直线l2与直线l3之间，对于每一条与AC平行的直线l，在AC的另一侧，有且只有一条直线l′，使得l′∥AC∥l，且这三条平行线之间的距离相等，直线l与l′与抛物线共有三个交点，这三个点分别与AC构成的三角形面积相等，即此时S的值对应的点P有三个．
在直线l1与直线l2之间，平行于AC的直线与抛物线在x轴下方只有一个交点，所以此时S的值对应的点P只有一个．
故只有当S=4时，相应的点P有且只有2个．
点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，运用待定系数法求一次函数的解
析式，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，综合性较强，有一定难度．理解题意、运用数形结合思想是解题的关键．
23．（2019?一模）如图，矩形ABCD的4个顶点都在圆O上，将矩形ABCD绕点0按顺时针方向旋转α度，其中0°＜α≤90°，旋转后的矩形落在弓形AD内的部分可能是三角形（如图1）、直角梯形（如图2）、矩形（如图3）．已知AB=6，AD=8．
